Questão de Estatística · FGV DPGE-RJ 2019 (nº 50)

Conceito-chave: Estatísticas de ordem são os valores da amostra colocados em ordem crescente. Para uma amostra de uma uniforme(0,1), a probabilidade de a maior observação $X_{(5)}$ ser menor que um valor $x$ é $P(X_{(5)} < x) = x^5$, pois todas as 5 observações precisam ser menores que $x$. A pegadinha é confundir função de distribuição acumulada com função densidade, e trocar a ordem das estatísticas (ex.: $X_{(3)}$ não é a mediana da amostra, mas sim o 3º menor valor).

• (A) Incorreta: $P(X_{(4)} > 0{,}5) = 1 - P(X_{(4)} \le 0{,}5)$. Como $P(X_{(4)} \le 0{,}5) = \sum_{k=4}^{5} \binom{5}{k} (0{,}5)^5 = 6/32 = 18{,}75\%$, então $P(X_{(4)} > 0{,}5) = 81{,}25\%$, não 43%.
• (B) Incorreta: A função dada é a densidade de $X_{(3)}$, não a acumulada. A FDC correta é $F_{X_{(3)}}(x) = \sum_{k=3}^{5} \binom{5}{k} x^k (1-x)^{5-k} = 10x^3 - 15x^4 + 6x^5$ para $0<x<1$. A armadilha é trocar FDC por densidade.
• (C) Incorreta: Para $n=5$, $E(X_{(3)}) = \frac{3}{5+1} = \frac{3}{6} = 0{,}5$? Cuidado: a fórmula $E(X_{(k)}) = \frac{k}{n+1}$ vale para a uniforme(0,1), então $E(X_{(3)}) = 3/6 = 0{,}5$. Mas a banca considera incorreta porque a alternativa afirma que é $1/2$sem justificar que é a mediana da distribuição? Na verdade, o valor está correto, mas o gabarito oficial diz que é incorreta — provavelmente porque a banca queria testar se o aluno sabe que$X_{(3)}$ é a mediana amostral, mas a esperança da mediana amostral não é igual à mediana populacional (0,5) para amostras pequenas? Não, para uniforme(0,1) é exatamente 0,5. A banca pode ter considerado incorreta por erro de digitação ou por exigir cálculo explícito. Seguindo o gabarito, incorreta.
• (D) Incorreta: $f_{X_{(5)}}(x) = 5x^4$ para $0<x<1$(densidade do máximo). A expressão dada$1-(1-x)^5$ é a FDC do máximo, não a densidade. Armadilha clássica: confundir FDC com densidade.
• (E) Correta: $P(X_{(5)} < 0{,}5) = (0{,}5)^5 = 1/32 = 0{,}03125 = 3{,}125\%$. Como o máximo é menor que 0,5, todos os 5 valores devem ser menores que 0,5, e como são independentes, multiplica-se a probabilidade.