Questão de Estatística · FGV ALE-RO 2018 (nº 68)

Conceito-chave: Uma estatística é suficiente se ela resume toda a informação da amostra sobre o parâmetro desconhecido. Pelo critério da fatoração de Fisher-Neyman, a verossimilhança pode ser fatorada em uma parte que depende dos dados apenas através da estatística e outra que não depende do parâmetro. Para distribuições da família exponencial, a soma $\sum X_i$ é suficiente para o parâmetro que aparece no expoente, mas não para o parâmetro que aparece na base (como a variância na normal).

• (A) Incorreta: Na Bernoulli, a função de verossimilhança é $p^{\sum x_i}(1-p)^{n-\sum x_i}$, que depende dos dados apenas via $\sum x_i$; logo, $\sum X_i$ é suficiente para $p$. A alternativa I está correta, mas a letra A diz "I, apenas", ignorando a II.

• (B) Incorreta: Na geométrica, a verossimilhança é $p^n(1-p)^{\sum x_i - n}$, que também depende dos dados apenas via $\sum x_i$; logo, $\sum X_i$ é suficiente para $p$. A alternativa II está correta, mas a letra B diz "II, apenas", ignorando a I.

• (C) Correta: I e II estão corretas, pois em ambas a verossimilhança fatora com $\sum X_i$ como estatística suficiente. Na III, a verossimilhança normal com média conhecida é $(2\pi\sigma^2)^{-n/2}\exp\left[-\frac{1}{2\sigma^2}\sum (x_i-\mu)^2\right]$, que depende dos dados via $\sum (x_i-\mu)^2$, não via $\sum X_i$; logo, $\sum X_i$ não é suficiente para $\sigma^2$ — a estatística suficiente seria $\sum (X_i-\mu)^2$. Portanto, apenas I e II.

• (D) Incorreta: A armadilha da banca está em III: muitos alunos confundem "soma" com "soma de quadrados" na normal. Como a média é conhecida, a informação sobre $\sigma^2$ está na dispersão dos dados em torno de $\mu$, ou seja, em $\sum (X_i-\mu)^2$, não na soma $\sum X_i$ (que só carrega informação sobre a média, já conhecida). Logo, III é falsa.

• (E) Incorreta: Erra ao incluir III, que não é suficiente para $\sigma^2$; a soma $\sum X_i$ não captura a variabilidade amostral necessária para estimar a variância.