Questão de Estatística · FGV ALE-RO 2018 (nº 48)

A ideia central é que a função de densidade conjunta precisa “somar” (integrar) para dar exatamente 1 sobre toda a região onde é diferente de zero. A constante $k$ é o fator de normalização que garante isso. Aqui a região é um triângulo: $0 < x < y < 1$, então integramos primeiro em$x$(de 0 até$y$) e depois em$y$ (de 0 até 1).

• (A) Incorreta: $k = 0,4$ daria uma integral total de $0,4 \cdot 0,5 = 0,2$, muito menor que 1, então não é densidade.
• (B) Incorreta: $k = 0,8$ daria integral $0,8 \cdot 0,5 = 0,4$, ainda insuficiente para normalizar.
• (C) Incorreta: $k = 1,2$ daria integral $1,2 \cdot 0,5 = 0,6$, não fecha em 1.
• (D) Incorreta: $k = 1,6$ daria integral $1,6 \cdot 0,5 = 0,8$, falta para 1. A pegadinha aqui é esquecer que a integral de $x+y$ na região triangular vale $0,5$(e não 1), levando o aluno a achar que$k deveria ser \1,6 para “compensar” um valor médio de \0,625$— mas o cálculo correto é$\int_0^1 \int_0^y (x+y),dx,dy = \int_0^1 (y^2/2 + y^2),dy = \int_0^1 \frac{3y^2}{2},dy = \frac{1}{2}$.
• (E) Correta: Como $\int_0^1 \int_0^y (x+y)\,dx\,dy = 0,5$, para que a integral total seja 1, precisamos de $k \cdot 0,5 = 1 \Rightarrow k = 2,0$. Esse é o valor que normaliza a densidade.