Questão de Estatística · FGV ALE-RO 2018 (nº 67)

Uma família é família exponencial se sua densidade (ou função de probabilidade) puder ser escrita na forma $f(x;\theta) = h(x)\exp\{A(\theta)T(x) - B(\theta)\}$, com o suporte não dependendo de $\theta$. Se o suporte depender do parâmetro, não é família exponencial.

• (A) Incorreta: I e II são exponenciais, mas IV (Uniforme $(0,\theta)$) não é, pois o suporte $[0,\theta]$ depende de $\theta$ — a forma canônica exige suporte fixo.
• (B) Incorreta: III é exponencial (Beta com $\alpha$ fixo e $\beta$ desconhecido pode ser reescrita na forma exponencial), mas IV não é, então a combinação III e IV falha.
• (C) Incorreta: I e II são exponenciais, mas IV não é — a pegadinha aqui é achar que a Uniforme é exponencial porque tem densidade simples, mas o suporte variável quebra a definição.
• (D) Correta: I (Poisson: $f(x;\lambda)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^x}{x!} = \frac{1}{x!}\exp\{x\ln\lambda - \lambda\}$), II (Normal com $\mu$ fixo: $f(x;\sigma^2)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp\{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\}$, que se rearranja com $T(x)=(x-\mu)^2$), e III (Beta com $\alpha$ fixo: $f(x;\beta)=\frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}}{B(\alpha,\beta)}$, que vira $\exp\{(\beta-1)\ln(1-x) - \ln B(\alpha,\beta)\}$ vezes $x^{\alpha-1}$) — todas têm suporte fixo e forma exponencial. IV não se encaixa.
• (E) Incorreta: Inclui IV, que não é família exponencial pelo suporte depender de $\theta$ — a armadilha da banca é confundir "densidade simples" com "forma exponencial", mas a condição de suporte fixo é obrigatória.