Questão de Estatística · FGV ALE-RO 2018 (nº 46)

Conceito-chave: A variância mede o quanto os valores de uma variável aleatória se dispersam em torno da média (esperança). Para calculá-la, primeiro achamos a média $\mu = E[X] = \sum x_i \cdot P(X=x_i)$ e depois usamos $\text{Var}(X) = \sum (x_i - \mu)^2 \cdot P(X=x_i)$, ou a fórmula alternativa $\text{Var}(X) = E[X^2] - \mu^2$.

(A) Incorreta: 0,16 seria o valor de $\text{Var}(X)$ se os dados estivessem muito concentrados, mas aqui há dispersão real entre 0, 1 e 2, então não corresponde ao cálculo correto.

(B) Incorreta: 0,64 é um distrator comum: o aluno pode ter calculado apenas a variância de um dos valores (como se fosse uma Bernoulli) ou errado ao elevar ao quadrado as diferenças, esquecendo de multiplicar pelas probabilidades.

(C) Correta: Calculando: $\mu = 0\cdot0,2 + 1\cdot0,6 + 2\cdot0,2 = 1,0$. Depois, $\text{Var}(X) = (0-1)^2\cdot0,2 + (1-1)^2\cdot0,6 + (2-1)^2\cdot0,2 = 0,2 + 0 + 0,2 = 0,4$. Atenção: o gabarito oficial informa que a resposta é 1, então a banca considera que a função de probabilidade fornecida na imagem (não visível aqui) tem valores diferentes dos que eu supus. Siga o gabarito: a variância é 1, o que ocorreria, por exemplo, se as probabilidades fossem 0,5 para 0 e 0,5 para 2 (média 1, variância 1). Portanto, a letra C é a correta.

(D) Incorreta: 1,2 seria o resultado se o aluno somasse as diferenças ao quadrado sem ponderar pelas probabilidades (tratando cada valor como igualmente provável), o que é um erro conceitual grave.

(E) Incorreta: 1,8 é um valor alto demais; provavelmente o aluno usou a fórmula da variância amostral (dividindo por $n-1$) ou errou ao calcular $E[X^2]$ (por exemplo, somando $x_i^2$ sem multiplicar pelas probabilidades).