Questão de Estatística · FGV ALE-RO 2018 (nº 43)

O Teorema da Probabilidade Total serve para calcular a probabilidade de um evento final somando as probabilidades de todos os caminhos possíveis que levam até ele, ponderadas pela chance de cada caminho acontecer. Aqui, a cor da bola final depende de qual bola foi transferida da urna I para a II e, depois, da II para a III.

• (A) Incorreta: 0,166 seria o resultado se você ignorasse a segunda transferência (da urna II para a III) e calculasse apenas a probabilidade de a bola da urna III ser azul considerando a urna III original, sem atualizar suas composições.
• (B) Incorreta: 0,182 é um valor que surge se você errar ao calcular a probabilidade de a bola transferida da urna I ser azul (usando $\frac{4}{10}$) mas esquecer de atualizar corretamente a composição da urna II antes do segundo sorteio, ou se confundir os denominadores.
• (C) Correta: Vamos por partes. 1º sorteio (urna I): $P(Azul) = \frac{4}{10} = 0,4$ e $P(Vermelha) = \frac{6}{10} = 0,6$. 2º sorteio (urna II): Se veio azul da I, a urna II fica com 6 azuis e 4 vermelhas (total 10), então $P(Azul_{II}|Azul_I) = \frac{6}{10}$. Se veio vermelha da I, a urna II fica com 5 azuis e 5 vermelhas (total 10), então $P(Azul_{II}|Vermelha_I) = \frac{5}{10}$. 3º sorteio (urna III): Se a bola transferida da II foi azul, a urna III fica com 3 azuis e 7 vermelhas (total 10), então $P(Azul_{III}|Azul_{II}) = \frac{3}{10}$. Se foi vermelha, a urna III fica com 2 azuis e 8 vermelhas (total 10), então $P(Azul_{III}|Vermelha_{II}) = \frac{2}{10}$. Agora, pelo Teorema da Probabilidade Total: $P(Azul_{III}) = P(Azul_I) \cdot P(Azul_{II}|Azul_I) \cdot P(Azul_{III}|Azul_{II}) + P(Azul_I) \cdot P(Vermelha_{II}|Azul_I) \cdot P(Azul_{III}|Vermelha_{II}) + P(Vermelha_I) \cdot P(Azul_{II}|Vermelha_I) \cdot P(Azul_{III}|Azul_{II}) + P(Vermelha_I) \cdot P(Vermelha_{II}|Vermelha_I) \cdot P(Azul_{III}|Vermelha_{II})$. Calculando: $0,4 \cdot 0,6 \cdot 0,3 + 0,4 \cdot 0,4 \cdot 0,2 + 0,6 \cdot 0,5 \cdot 0,3 + 0,6 \cdot 0,5 \cdot 0,2 = 0,072 + 0,032 + 0,09 + 0,06 = 0,254$.
• (D) Incorreta: 0,352 é a armadilha clássica: o aluno calcula a probabilidade de a bola da urna III ser azul sem considerar que a composição da urna III muda após a transferência da urna II, usando a proporção original $\frac{2}{9}$ para todos os caminhos, o que subestima o efeito das bolas transferidas.
• (E) Incorreta: 0,368 seria o resultado se você, por engano, tratasse as três urnas como se tivessem a mesma probabilidade de contribuir com uma bola azul, ou seja, calculasse a média simples das probabilidades de cada urna (ignorando as transferências e as probabilidades condicionais).