Questão de Estatística · FGV ALE-RO 2018 (nº 66)

Conceito-chave: Na máxima verossimilhança, você escolhe o valor de $\theta$ que torna os dados observados os mais "prováveis" possíveis. A função de verossimilhança é exatamente a probabilidade conjunta dos dados, mas vista como uma função do parâmetro (e não dos dados). Para a uniforme, o menor valor possível de $\theta$ que ainda "cabe" todos os dados é o máximo da amostra; para a normal com $\sigma$ conhecido, a média amostral é o valor que maximiza a probabilidade conjunta.

• (A) Incorreta: A definição está correta, mas a banca considera a afirmativa como verdadeira (gabarito oficial), então esta letra não é o gabarito; o erro seria marcá-la como falsa, pois a verossimilhança é sim a densidade conjunta como função de $\theta$.
• (B) Incorreta: A afirmativa é verdadeira (o EMV da uniforme $(0,\theta)$ é $\max\{X_i\}$), mas como o gabarito oficial é a letra E, esta letra isolada não é a correta; a armadilha seria achar que o EMV é a média amostral, mas para a uniforme a média não funciona, pois $\theta$ precisa ser pelo menos o maior valor observado.
• (C) Incorreta: A afirmativa sobre a normal é verdadeira (EMV de $\mu$ é $\bar{X}$), mas a letra C diz "F, V e V", o que é falso porque a primeira afirmativa também é verdadeira; a pegadinha é achar que a definição de verossimilhança exige independência ou que a função é vista como função dos dados, quando é função de $\theta$.
• (D) Incorreta: A letra D diz "V, F e V", mas a segunda afirmativa é verdadeira (EMV da uniforme é o máximo), então a armadilha é confundir o EMV da uniforme com o método dos momentos ou achar que o suporte não depende de $\theta$; o máximo amostral é sim o EMV.
• (E) Correta: Todas as três afirmativas são verdadeiras: (1) a verossimilhança é a densidade conjunta como função de $\theta$; (2) para $X_i \sim \text{Uniforme}(0,\theta)$, a função de verossimilhança é $\theta^{-n}$ para $\theta \geq \max\{X_i\}$, que é maximizada no menor $\theta$ possível, ou seja, $\max\{X_i\}$; (3) para $N(\mu,\sigma^2)$ com $\sigma$ conhecido, maximizar a log-verossimilhança equivale a minimizar $\sum (X_i-\mu)^2$, cuja solução é $\bar{X}$.