Questão de Estatística · FGV ALE-RO 2018 (nº 65)

Conceito-chave: Um estimador não tendencioso tem esperança igual ao parâmetro (aqui, $E(T) = \mu$). Entre os não tendenciosos, o de variância uniformemente mínima (UMVUE) é aquele com a menor variância possível para todo $\mu$, e, para uma amostra aleatória simples, a média amostral (que usa todos os dados) é o melhor estimador linear não tendencioso (Teorema de Gauss-Markov) e, sob normalidade, o UMVUE.

• (A) Incorreta: $T_1 = X_1$ é não tendencioso ($E(X_1)=\mu$), mas usa só 1 observação, tendo variância $\sigma^2$, maior que a de $T_5$ ($\sigma^2/5$).
• (B) Incorreta: $T_2 = X_1+X_2+X_3-X_4-X_5$ tem $E(T_2)=3\mu-2\mu=\mu$ (não tendencioso), mas a variância é $5\sigma^2$, muito maior que a de $T_5$; além disso, usa coeficientes não ótimos.
• (C) Incorreta: $T_3 = (X_1+X_2+X_3)/3$ é não tendencioso e tem variância $\sigma^2/3$, mas ainda maior que $\sigma^2/5$ de $T_5$; não usa toda a amostra.
• (D) Incorreta: $T_4 = X_1-X_2$ tem $E(T_4)=0$, não é não tendencioso para $\mu$ (a menos que $\mu=0$), então é inválido.
• (E) Correta: $T_5 = (X_1+...+X_5)/5$ é a média amostral; é não tendencioso ($E(T_5)=\mu$) e tem a menor variância ($\sigma^2/5$) entre todos os estimadores não tendenciosos que são combinações lineares dos dados, sendo o UMVUE (pelo Teorema de Gauss-Markov, sem necessidade de normalidade).

Armadilha do distrator mais tentador (C): $T_3$ parece "média de 3", mas a banca quer que você perceba que, com 5 observações disponíveis, usar apenas 3 descarta informação, aumentando a variância. A pegadinha é confundir "não tendencioso" com "melhor"; todos os não tendenciosos têm a mesma esperança, mas a variância decide o vencedor — e a média com todos os dados sempre vence.