Questão de Estatística · FGV ALE-RO 2018 (nº 63)

Conceito-chave: A máxima verossimilhança (MV) escolhe o valor do parâmetro que torna os dados observados mais prováveis. Para uma Bernoulli, o parâmetro é a probabilidade $p$, e a variância populacional é $p(1-p)$. Como o MV de $p$ é a média amostral $\bar{X}$, pela propriedade de invariância do MV, o MV da variância é $\bar{X}(1-\bar{X})$.

• (A) Incorreta: $\bar{X}$ é o MV do parâmetro $p$ (a média), não da variância. A pegadinha aqui é confundir o estimador do parâmetro com o estimador de uma função dele.
• (B) Incorreta: $\sum_{i=1}^{n}(X_i - \bar{X})^2 /n$ é a variância amostral (com divisor $n$), que é um estimador consistente, mas não é o de MV para Bernoulli. A armadilha é achar que o MV da variância é sempre a variância amostral, mas isso só vale para a Normal.
• (C) Incorreta: $\sum_{i=1}^{n}(X_i - \bar{X})^2 /(n - 1)$ é a variância amostral corrigida (não viesada), que também não é o MV. A banca tenta atrair quem confunde estimador não viesado com estimador de MV.
• (D) Incorreta: $\sum_{i=1}^{n}(X_i - \bar{X})^2 /2n$ não tem justificativa teórica; é um distrator puro, sem relação com o método de MV.
• (E) Correta: $\bar{X}(1 - \bar{X})$ é o MV da variância, pois a variância de Bernoulli é $p(1-p)$ e o MV de $p$ é $\bar{X}$. Pela invariância do MV, a função do MV é o MV da função.