Questão de Estatística · FGV ALE-RO 2018 (nº 62)

O método dos momentos funciona assim: você iguala o momento teórico (a esperança da distribuição) ao momento amostral (a média dos dados, $\bar{X}$). Para a exponencial, a esperança é $E[X] = 1/\theta$. Então, igualamos $1/\theta = \bar{X}$ e isolamos $\theta$, obtendo $\hat{\theta} = 1/\bar{X}$.

• (A) Incorreta: $\bar{X}$ estima a média $1/\theta$, não o parâmetro $\theta$ diretamente. É o momento amostral, não o estimador do parâmetro.
• (B) Correta: Igualando $E[X] = 1/\theta$ a $\bar{X}$, temos $1/\theta = \bar{X} \Rightarrow \theta = 1/\bar{X}$. Esse é o estimador de momentos, pois usa a média amostral para "inverter" a relação teórica.
• (C) Incorreta: $\bar{X}^2$ seria o segundo momento amostral, mas o método dos momentos para um único parâmetro usa apenas o primeiro momento (a média). Não há justificativa para elevar ao quadrado.
• (D) Incorreta: $\sum X_i$ é a soma total, não a média. O método dos momentos iguala médias (teórica e amostral), não somas.
• (E) Incorreta: $\sum X_i / 2$ é metade da soma, sem relação com o momento teórico. A armadilha aqui é tentar "adivinhar" uma fórmula com base na cara da função densidade, mas o método é mecânico: iguale esperança à média.