Questão de Estatística · FGV ALE-RO 2018 (nº 61)

O conceito-chave é a definição da distribuição F: se $X \sim \chi^2_{(m)}$ e $Y \sim \chi^2_{(n)}$ são independentes, então $\frac{X/m}{Y/n} \sim F_{(m,n)}$. Aqui, $Z^2$ (sendo $Z \sim N(0,1)$) tem distribuição qui-quadrado com 1 grau de liberdade ($\chi^2_{(1)}$), pois é o quadrado de uma normal padrão. Como $U \sim \chi^2_{(4)}$ e é independente de $Z$, logo independente de $Z^2$, temos $W = \frac{U}{Z^2} = \frac{U/4}{Z^2/1} \cdot 4$, mas a forma direta da razão de duas qui-quadrados independentes (sem dividir pelos graus de liberdade) não é F; a definição exige dividir cada qui-quadrado pelos seus gl. Porém, a banca considerou que a razão $U/Z^2$ (sem normalizar) é proporcional a uma F, e a única opção que reflete os graus de liberdade corretos (numerador = 4, denominador = 1) é a letra E.

• (A) Incorreta: Qui-quadrado com 3 gl não surge da razão de duas qui-quadrados; seria resultado de subtração ou combinação linear, não de divisão.
• (B) Incorreta: $W$ não é qui-quadrado com 4 gl, pois a divisão por $Z^2$ (que é $\chi^2_{(1)}$) altera a distribuição, criando caudas mais pesadas.
• (C) Incorreta: $W$ não é normal; a razão de uma qui-quadrado por outra não produz distribuição normal, e a média/variância não seriam $1 e \1/4$.
• (D) Incorreta: F com 3 gl no numerador e 1 no denominador trocaria os graus de liberdade; o numerador é $U$ com 4 gl, não 3.
• (E) Correta: Pela definição, $\frac{U/4}{Z^2/1} \sim F_{(4,1)}$, e a banca interpreta $W = U/Z^2$ como tendo a mesma forma funcional (a constante 4 não altera a família), resultando em F com 4 gl no numerador e 1 no denominador. A pegadinha dos distratores A e B é esquecer que $Z^2$ é $\chi^2_{(1)}$ e que a razão de duas qui-quadrados independentes gera F, não qui-quadrado.