Questão de Estatística · FGV ALE-RO 2018 (nº 58)

O conceito-chave é a razão de duas normais padrão independentes: quando $X$ e $Y$ são $N(0,1)$ independentes, a razão $X/Y$ segue uma distribuição de Cauchy padrão, que tem caudas muito pesadas (não tem média nem variância definidas). Isso ocorre porque a razão equivale à tangente de um ângulo uniforme no círculo unitário.

• (A) Incorreta: $X/Y$ não é normal, pois a razão de normais não preserva normalidade; a Cauchy tem caudas mais grossas que a normal, então não pode ser $N(0,1)$.
• (B) Incorreta: $N(0,4)$ exigiria variância 4, mas a Cauchy nem tem variância finita — a banca tenta confundir com a soma $X+Y \sim N(0,2)$, não com a razão.
• (C) Correta: O quociente de duas normais padrão independentes é exatamente Cauchy(0,1), com densidade $f(z) = \frac{1}{\pi(1+z^2)}$; isso é um resultado clássico de transformação de variáveis (use coordenadas polares: $X/Y = \tan(\Theta)$, com $\Theta \sim U(0,2\pi)$).
• (D) Incorreta: Qui-quadrado com 1 grau de liberdade é a distribuição de $X^2$ (soma de quadrados), não de uma razão; a armadilha aqui é confundir "razão" com "quadrado".
• (E) Incorreta: Qui-quadrado com 2 graus de liberdade seria $X^2 + Y^2$ (soma de quadrados), que é exponencial, mas não tem relação com divisão; a banca testa se você sabe que razão não é soma de quadrados.

Distrator mais tentador (A): muitos alunos assumem que "razão de normais é normal" por analogia com a soma, mas a divisão quebra a simetria e gera caudas infinitas — a Cauchy é o exemplo clássico de distribuição sem média, então nunca confunda com $N(0,1)$.