Questão de Estatística · FGV ALE-RO 2018 (nº 57)

Conceito-chave: Convergência em distribuição significa que a função de distribuição acumulada de $X_n$ se aproxima da função de uma variável limite em todos os pontos de continuidade. Aqui, basta observar que o suporte de $X_n$ é $(0, \frac{n-1}{n})$, que "encolhe" para $(0,1)$ à medida que $n \to \infty$, e a densidade é constante $n/(n-1)$, que tende a 1.

• (A) Correta: Como $X_n \sim U(0, \frac{n-1}{n})$, sua FDA é $F_n(x) = \frac{n}{n-1}x$ para $0 < x < \frac{n-1}{n}$. Para qualquer $x \in (0,1)$, quando $n$ é grande, $x < \frac{n-1}{n}$, então $F_n(x) \to x$, que é exatamente a FDA da $U(0,1)$. Para $x \le 0$, $F_n(x)=0$; para $x \ge 1$, $F_n(x)=1$. Logo, converge em distribuição para $U(0,1)$.
• (B) Incorreta: Qui-quadrado com 1 grau de liberdade tem suporte $(0, \infty)$ e densidade assimétrica, sem relação com o suporte limitado de $X_n$.
• (C) Incorreta: Exponencial com $\lambda=1$ tem suporte $(0, \infty)$ e decai exponencialmente, enquanto $X_n$ tem densidade constante e suporte limitado.
• (D) Incorreta: Normal padrão tem suporte em toda a reta real, enquanto $X_n$ está restrito a $(0,1)$; a convergência em distribuição exigiria que a FDA limite fosse 0 para $x<0$, o que não ocorre na normal.
• (E) Incorreta: Geométrica é uma distribuição discreta em $\{1,2,3,\dots\}$, enquanto $X_n$ é contínua; não há convergência de uma contínua para uma discreta aqui.

Armadilha do distrator mais tentador (C): A banca tenta confundir com a ideia de "limite de uniforme" como se fosse exponencial, mas o suporte de $X_n$ é sempre limitado em $(0,1)$; a exponencial tem cauda infinita. O erro clássico é pensar que "o limite de algo que varia" vira exponencial, mas aqui a densidade é constante e o intervalo tende a $(0,1)$, não a $(0,\infty)$.