Questão de Estatística · FGV ALE-RO 2018 (nº 56)

O conceito-chave é que, em uma amostra aleatória simples de tamanho $n$, a mínima observação de uma distribuição exponencial com parâmetro $\lambda$ tem distribuição exponencial com parâmetro $n\lambda$. Isso ocorre porque a função de sobrevivência da mínima é o produto das funções de sobrevivência individuais, e o produto de exponenciais resulta em outra exponencial com taxa somada.

• (A) Incorreta: Esqueceria que há duas observações; a mínima de duas exponenciais tem taxa dobrada, não a mesma taxa de cada uma.
• (B) Correta: Para $Y = \min(X_1, X_2)$, temos $P(Y > y) = [P(X > y)]^2 = (e^{-\lambda y})^2 = e^{-2\lambda y}$, que é exatamente a função de sobrevivência de uma exponencial com parâmetro $2\lambda$.
• (C) Incorreta: Dividir o parâmetro por 2 corresponderia a uma taxa menor, o que contradiz o fato de que a mínima tende a ser menor (mais provável de ocorrer cedo), logo a taxa deve aumentar.
• (D) Incorreta: Gama$(2, \lambda)$ seria a distribuição da soma de duas exponenciais independentes, não da mínima; confundir mínimo com soma é a armadilha clássica.
• (E) Incorreta: Gama$(2, 2\lambda)$ também se refere à soma (com taxa dobrada), mas a mínima de duas exponenciais não é uma gama; é uma exponencial simples, pois a memória da exponencial colapsa o mínimo em uma única taxa.