Questão de Estatística · FCC TRT4 2022 (nº 58)

Quando combinamos variáveis aleatórias que seguem uma distribuição normal multivariada, a nova variável resultante também será normal, e podemos calcular sua média e variância usando as propriedades de esperança e variância de combinações lineares, que levam em conta as covariâncias entre as variáveis.

(A) Incorreta: O valor de 0,5000 não corresponde aos cálculos corretos da variância de Y ou da média de Y.
(B) Incorreta: O valor de 0,4000 não é obtido a partir dos parâmetros fornecidos e da definição de variância relativa.
(C) Incorreta: O valor de 0,6000 não é o resultado correto da variância relativa de Y.
(D) Correta: Primeiro, calculamos a média de Y ($E[Y]$). Como $Y = 2X_1 - X_2 + X_3$, a propriedade da esperança linear nos dá $E[Y] = 2E[X_1] - E[X_2] + E[X_3]$. Usando o vetor de médias $\mu = \begin{pmatrix} 1 \ 2 \ 4 \end{pmatrix}$, temos $E[Y] = 2(1) - (2) + (4) = 2 - 2 + 4 = 4$.
Em seguida, calculamos a variância de Y ($Var(Y)$). Para uma combinação linear $Y = c^T X$, onde $c = \begin{pmatrix} 2 \ -1 \ 1 \end{pmatrix}$ e $X = \begin{pmatrix} X_1 \ X_2 \ X_3 \end{pmatrix}$, a variância é dada por $Var(Y) = c^T \Sigma c$.
Calculando $c^T \Sigma$:
$c^T \Sigma = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \ 0 & 2 & 0 \ -1 & 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (2 \cdot 1 + (-1) \cdot 0 + 1 \cdot (-1)) & (2 \cdot 0 + (-1) \cdot 2 + 1 \cdot 0) & (2 \cdot (-1) + (-1) \cdot 0 + 1 \cdot 3) \end{pmatrix}$
$c^T \Sigma = \begin{pmatrix} (2 - 1) & (-2) & (-2 + 3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \end{pmatrix}$.
Agora, calculamos $c^T \Sigma c$:
$Var(Y) = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \ -1 \ 1 \end{pmatrix} = 1 \cdot 2 + (-2) \cdot (-1) + 1 \cdot 1 = 2 + 2 + 1 = 5$.
Finalmente, a variância relativa de Y é $Var(Y) / (E[Y])^2$.
Variância Relativa $= 5 / (4)^2 = 5 / 16 = 0,3125$.
(E) Incorreta: O valor de 0,3750 não é o resultado correto. Uma armadilha comum seria cometer um erro de cálculo na multiplicação da matriz de covariância ou na soma final, levando a um valor de $Var(Y)$ incorreto, como 6, que resultaria em $6/16 = 0,3750$.