Questão de Estatística · FCC TRT4 2022 (nº 57)

Em uma cadeia de Markov, a distribuição estacionária (ou vetor de probabilidade fixo) é um conjunto de probabilidades que, uma vez alcançado, não muda mais com o tempo, mesmo após novas transições. Ela representa o estado de equilíbrio do sistema a longo prazo.

• (A) Incorreta: Se $m = 8n$, e $m+n=1$, então $8n+n=1 \implies 9n=1 \implies n=1/9$. Isso implicaria $m=8/9$, o que não corresponde à nossa solução.
• (B) Incorreta: Se $m = 5n$, e $m+n=1$, então $5n+n=1 \implies 6n=1 \implies n=1/6$. Isso implicaria $m=5/6$, o que não corresponde à nossa solução.
• (C) Correta: Para encontrar o vetor de probabilidade fixo $t = (m, n)$, devemos resolver o sistema de equações $tM = t$ e $m + n = 1$.
  • A equação $tM = t$ se traduz em:
    $(m, n) \begin{pmatrix} 0,90 & 0,10 \ 0,70 & 0,30 \end{pmatrix} = (m, n)$
  • Isso nos dá duas equações:
    1. $0,90m + 0,70n = m$
    2. $0,10m + 0,30n = n$
  • Vamos usar a primeira equação:
    $0,70n = m - 0,90m$
    $0,70n = 0,10m$
    Dividindo ambos os lados por 0,10:
    $7n = m$
  • (A segunda equação $0,10m = n - 0,30n \implies 0,10m = 0,70n \implies m = 7n$ leva ao mesmo resultado, confirmando a consistência.)
  • Agora, usamos a condição de que a soma das probabilidades deve ser 1: $m + n = 1$.
  • Substituímos $m = 7n$ nesta equação:
    $7n + n = 1 \8n = 1$$n = 1/8$
  • Com $n = 1/8$, podemos encontrar $m$:
    $m = 7n = 7(1/8) = 7/8$.
  • Portanto, o vetor estacionário é $(7/8, 1/8)$. A questão pede o valor de $m$. Como $m = 7/8$ e $n = 1/8$, a relação $m = 7n$ é verdadeira.
• (D) Incorreta: Se $m = 4n$, e $m+n=1$, então $4n+n=1 \implies 5n=1 \implies n=1/5$. Isso implicaria $m=4/5$, o que não corresponde à nossa solução.
• (E) Incorreta: Se $m = 6n$, e $m+n=1$, então $6n+n=1 \implies 7n=1 \implies n=1/7$. Isso implicaria $m=6/7$, o que não corresponde à nossa solução.