Questão nº 56

Questão de Estatística · FCC TRT4 2022 (nº 56)

FCC2022Analista Judiciário - Área Apoio Especializado - Especialidade EstatísticaEstatística

O modelo de regressão linear simples $F_i = \alpha + \beta G_i + \varepsilon_i$ foi adotado para prever o faturamento anual (F), em milhões de reais, de uma empresa em função dos respectivos gastos com propaganda (G), em milhões de reais. α e β são parâmetros reais desconhecidos, i corresponde a i-ésima observação e $\varepsilon_i$ é o erro aleatório com as respectivas hipóteses do modelo de regressão linear simples. Com base em 10 observações anuais ( $G_i$ , $F_i$ ) e utilizando o método dos mínimos quadrados encontrou-se a equação $\hat{F}_i = 2 + 4G_i$ . Sabendo-se, com base nessas informações, que a estimativa da variância do modelo teórico encontrada foi de 25 e que o coeficiente de determinação (R²) é igual a 80%, verifica-se que a variância da estimativa do coeficiente angular correspondente ao modelo é igual a

A0,8
B1,6
C2,5
D1,0
E0,5 (alternativa correta)

Resposta comentada

Gabarito Alternativa E

A variância da estimativa do coeficiente angular em uma regressão linear simples mede a precisão com que o coeficiente de inclinação da reta foi estimado, sendo influenciada pela variabilidade dos erros do modelo e pela dispersão dos valores da variável explicativa.

Cálculo:

A estimativa da variância do modelo teórico ( $\hat{\sigma}^2$ ) é dada como 25.
A fórmula para $\hat{\sigma}^2$ é $SQ_{Resíduos} / (n-2)$ , onde $SQ_{Resíduos}$ é a Soma dos Quadrados dos Resíduos e $n$ é o número de observações.
$25 = SQ_{Resíduos} / (10-2) \Rightarrow 25 = SQ_{Resíduos} / 8 \Rightarrow SQ_{Resíduos} = 25 \times 8 = 200$ .
O coeficiente de determinação ( $R^2$ ) é 80% (0,80). A fórmula de $R^2$ é $1 - (SQ_{Resíduos} / SQ_{Total})$ , onde $SQ_{Total}$ é a Soma dos Quadrados Total.
$0,80 = 1 - (200 / SQ_{Total}) \Rightarrow 200 / SQ_{Total} = 1 - 0,80 = 0,20 \Rightarrow SQ_{Total} = 200 / 0,20 = 1000$ .
A Soma dos Quadrados da Regressão ( $SQ_{Regressão}$ ) é $SQ_{Total} - SQ_{Resíduos}$ .
$SQ_{Regressão} = 1000 - 200 = 800$ .
A fórmula para $SQ_{Regressão}$ é $\hat{\beta}^2 \sum_{i=1}^{n} (G_i - \bar{G})^2$ , onde $\hat{\beta}$ é o coeficiente angular estimado (4, da equação $\hat{F}_i = 2 + 4G_i$ ).
$800 = 4^2 \sum_{i=1}^{n} (G_i - \bar{G})^2 \Rightarrow 800 = 16 \sum_{i=1}^{n} (G_i - \bar{G})^2 \Rightarrow \sum_{i=1}^{n} (G_i - \bar{G})^2 = 800 / 16 = 50$ .
Finalmente, a variância da estimativa do coeficiente angular é $\hat{Var}(\hat{\beta}) = \hat{\sigma}^2 / \sum_{i=1}^{n} (G_i - \bar{G})^2$ .
$\hat{Var}(\hat{\beta}) = 25 / 50 = 0,5$ .

(A) Incorreta: Não corresponde ao valor calculado.
(B) Incorreta: Não corresponde ao valor calculado.
(C) Incorreta: Não corresponde ao valor calculado. Poderia ser um distrator se houvesse confusão entre as somas de quadrados ou variâncias.
(D) Incorreta: Não corresponde ao valor calculado.
(E) Correta: O cálculo detalhado acima demonstra que a variância da estimativa do coeficiente angular é 0,5, utilizando as informações fornecidas sobre a variância do modelo teórico, o coeficiente de determinação e o coeficiente angular estimado.

Fonte: FCC TRT4 2022 Analista Judiciário - Área Apoio Especializado - Especialidade Estatística (Caderno Tipo 001). Reproduzida para fins de estudo.

Questão de Estatística · FCC TRT4 2022 (nº 56)

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