Questão de Estatística · FCC TRT4 2022 (nº 51)

Quando transformamos uma variável aleatória $X$ em uma nova variável $U$ através de uma função $U = h(X)$, a função densidade de probabilidade (PDF) da nova variável $U$, $g(u)$, é encontrada usando a fórmula $g(u) = f_X(h^{-1}(u)) \left| \frac{d}{du} h^{-1}(u) \right|$, onde $h^{-1}(u)$ é a função inversa e $\left| \frac{d}{du} h^{-1}(u) \right|$ é o jacobiano da transformação, que ajusta a escala da densidade.

Vamos aplicar isso ao problema:

1. Encontrar a inversa: Dada $U = \dfrac{1}{2}(x + 2)$, isolamos $x$:
   $2U = x + 2 \implies x = 2U - 2$. Então, $h^{-1}(u) = 2u - 2$.
2. Calcular o jacobiano: Derivamos $x$ em relação a $u$:
   $\dfrac{dx}{du} = \dfrac{d}{du}(2u - 2) = 2$. O valor absoluto é $|2| = 2$.
3. Substituir na PDF original e multiplicar pelo jacobiano:
   A PDF original é $f(x) = \dfrac{3}{8}x^2$. Substituímos $x$ por $(2u - 2)$:
   $g(u) = f(2u - 2) \times 2 = \dfrac{3}{8}(2u - 2)^2 \times 2 = \dfrac{6}{8}(2u - 2)^2 = \dfrac{3}{4}(2u - 2)^2$.
4. Transformar o domínio: O domínio de $X$ é $0 < x < 2$. Usamos$U = \dfrac{1}{2}(x + 2)$: Para$x = 0 \implies U = \dfrac{1}{2}(0 + 2) = 1$. Para$x = 2 \implies U = \dfrac{1}{2}(2 + 2) = 2$. Assim, o domínio de$U é \1 < u < 2$.

Portanto, $g(u) = \dfrac{3}{4}(2u - 2)^2$, se $1 < u < 2$, e$g(u) = 0$, caso contrário.

Alternativas:

• (A) Incorreta: A forma da função e o domínio estão errados. A expressão $(u+2)^2$ não corresponde à substituição correta de $x$.
• (B) Incorreta: A forma da função e o domínio estão errados. A expressão $(u+2)^2$ não corresponde à substituição correta de $x$, e o fator multiplicativo está incorreto.
• (C) Incorreta: Esta alternativa tem o domínio correto ($1 < u < 2$) e a substituição correta de$x$na função ($ (2u-2)^2 $), mas esquece de multiplicar pelo jacobiano (o fator 2). Esta é a armadilha mais comum: o aluno faz a substituição, mas ignora o ajuste de escala da densidade.
• (D) Incorreta: O domínio está correto ($1 < u < 2$), mas a forma da função está incorreta. Embora tenha o fator$\dfrac{3}{4}$(que é$\dfrac{3}{8} \times 2$), a expressão dentro do parêntese$(u+2)^2$está errada, indicando um erro na inversa de$x$.
• (E) Correta: A função $g(u) = \dfrac{3}{4}(2u-2)^2$ e o domínio $1 < u < 2$ estão ambos corretos, conforme derivado passo a passo.