Questão de Estatística · FCC TRT4 2022 (nº 50)

Um estimador não viesado é aquele cuja média (valor esperado) é igual ao verdadeiro valor do parâmetro que se deseja estimar. A eficiência de um estimador não viesado é determinada por sua variância: quanto menor a variância, mais eficiente ele é.

Para resolver a questão, precisamos primeiro verificar a condição de não viesamento para ambos os estimadores e, em seguida, calcular suas variâncias para aplicar a condição de eficiência.

1. Verificar o não viesamento:
   A população tem média $\mu$ e variância $\sigma^2 = 1$. A amostra $(\mathbf{X}, \mathbf{Y}, \mathbf{Z})$ é aleatória e com reposição, então $E[\mathbf{X}] = E[\mathbf{Y}] = E[\mathbf{Z}] = \mu$ e $Var(\mathbf{X}) = Var(\mathbf{Y}) = Var(\mathbf{Z}) = \sigma^2 = 1$.

   • Para $E' = 3\mathbf{X} - \mathbf{Y} - \mathbf{Z}$:
     $E[E'] = E[3\mathbf{X} - \mathbf{Y} - \mathbf{Z}] = 3E[\mathbf{X}] - E[\mathbf{Y}] - E[\mathbf{Z}] = 3\mu - \mu - \mu = \mu$.
     $E'$ é não viesado, como afirmado.

   • Para $E'' = m\mathbf{X} + m\mathbf{Y} - (2m - 1)\mathbf{Z}$:
     $E[E''] = E[m\mathbf{X} + m\mathbf{Y} - (2m - 1)\mathbf{Z}] = mE[\mathbf{X}] + mE[\mathbf{Y}] - (2m - 1)E[\mathbf{Z}]$
     $E[E''] = m\mu + m\mu - (2m - 1)\mu = (2m - (2m - 1))\mu = (2m - 2m + 1)\mu = \mu$.
     $E''$ também é não viesado, como afirmado. A condição de não viesamento para $E''$ não impõe restrições a $m$.

2. Calcular as variâncias:
   Como as variáveis da amostra são independentes, $Var(a\mathbf{X} + b\mathbf{Y} + c\mathbf{Z}) = a^2Var(\mathbf{X}) + b^2Var(\mathbf{Y}) + c^2Var(\mathbf{Z})$.

   • Para $E'$:
     $Var(E') = Var(3\mathbf{X} - \mathbf{Y} - \mathbf{Z}) = (3)^2Var(\mathbf{X}) + (-1)^2Var(\mathbf{Y}) + (-1)^2Var(\mathbf{Z})$
     $Var(E') = 9(1) + 1(1) + 1(1) = 9 + 1 + 1 = 11$.

   • Para $E''$:
     $Var(E'') = Var(m\mathbf{X} + m\mathbf{Y} - (2m - 1)\mathbf{Z}) = (m)^2Var(\mathbf{X}) + (m)^2Var(\mathbf{Y}) + (-(2m - 1))^2Var(\mathbf{Z})$
     $Var(E'') = m^2(1) + m^2(1) + (2m - 1)^2(1) = 2m^2 + (4m^2 - 4m + 1)$
     $Var(E'') = 6m^2 - 4m + 1$.

3. Aplicar a condição de eficiência:
   $E''$ é mais eficiente que $E'$ significa que $Var(E'') < Var(E')$.
   $6m^2 - 4m + 1 < 11$
   $6m^2 - 4m - 10 < 0$
   Dividindo por 2: $3m^2 - 2m - 5 < 0$.

4. Resolver a inequação quadrática:
   Para encontrar os valores de $m$ que satisfazem a inequação, primeiro encontramos as raízes da equação $3m^2 - 2m - 5 = 0$ usando a fórmula quadrática $m = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$:
   $m = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(3)(-5)}}{2(3)}$
   $m = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 60}}{6}$
   $m = \frac{2 \pm \sqrt{64}}{6}$
   $m = \frac{2 \pm 8}{6}$

   As duas raízes são:
   $m_1 = \frac{2 - 8}{6} = \frac{-6}{6} = -1$
   $m_2 = \frac{2 + 8}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$

   Como o coeficiente de $m^2$ (que é 3) é positivo, a parábola $3m^2 - 2m - 5$ abre para cima. A inequação $3m^2 - 2m - 5 < 0$ é satisfeita para os valores de $m$ que estão entre as raízes.
   Portanto, o intervalo para $m$ é $(-1, \frac{5}{3})$.

5. Calcular a amplitude do intervalo:
   A amplitude de um intervalo $(a, b)$ é $b - a$.
   Amplitude = $\frac{5}{3} - (-1) = \frac{5}{3} + 1 = \frac{5}{3} + \frac{3}{3} = \frac{8}{3}$.

Comentário das alternativas:

• (A) Incorreta: Não corresponde ao cálculo da amplitude do intervalo.
• (B) Incorreta: Não corresponde ao cálculo da amplitude do intervalo.
• (C) Correta: A amplitude do intervalo onde $m$ pertence é $8/3$, conforme calculado a partir das condições de não viesamento e eficiência dos estimadores.
• (D) Incorreta: Não corresponde ao cálculo da amplitude do intervalo.
• (E) Incorreta: Esta é uma das raízes da equação quadrática ($m=5/3$), mas a questão pede a amplitude do intervalo, não um dos seus limites. É um distrator comum para quem encontra as raízes, mas não interpreta corretamente o que é pedido.