Questão de Estatística · FCC TRT4 2022 (nº 49)

A Função Densidade de Probabilidade (FDP), ou PDF, para uma variável aleatória contínua descreve a probabilidade relativa de um evento ocorrer em um determinado ponto. A variância mede o quão dispersos os valores de uma variável aleatória estão em relação à sua média (valor esperado), sendo calculada pela fórmula $Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2$.

Para resolver, seguimos os passos:

1. Encontrar K: A integral da FDP sobre todo o seu domínio deve ser igual a 1.
   $\int_{0}^{2} \frac{x+1}{K} \, dx = 1 \implies \frac{1}{K} \left[ \frac{x^2}{2} + x \right]_{0}^{2} = 1 \implies \frac{1}{K} (2+2) = 1 \implies K=4$.
   Assim, $f(x) = \frac{x+1}{4}$ para $0 \leq x \leq 2$.
2. Calcular E[X] (Valor Esperado): $E[X] = \int_{0}^{2} x \cdot f(x) \, dx$.
   $E[X] = \int_{0}^{2} x \cdot \frac{x+1}{4} \, dx = \frac{1}{4} \int_{0}^{2} (x^2+x) \, dx = \frac{1}{4} \left[ \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{2} = \frac{1}{4} \left( \frac{8}{3} + \frac{4}{2} \right) = \frac{1}{4} \left( \frac{8}{3} + 2 \right) = \frac{1}{4} \left( \frac{14}{3} \right) = \frac{14}{12} = \frac{7}{6}$.
3. Calcular E[X²] (Segundo Momento): $E[X^2] = \int_{0}^{2} x^2 \cdot f(x) \, dx$.
   $E[X^2] = \int_{0}^{2} x^2 \cdot \frac{x+1}{4} \, dx = \frac{1}{4} \int_{0}^{2} (x^3+x^2) \, dx = \frac{1}{4} \left[ \frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} = \frac{1}{4} \left( \frac{16}{4} + \frac{8}{3} \right) = \frac{1}{4} \left( 4 + \frac{8}{3} \right) = \frac{1}{4} \left( \frac{12+8}{3} \right) = \frac{1}{4} \left( \frac{20}{3} \right) = \frac{20}{12} = \frac{5}{3}$.
4. Calcular Var(X): $Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2$.
   $Var(X) = \frac{5}{3} - \left( \frac{7}{6} \right)^2 = \frac{5}{3} - \frac{49}{36} = \frac{5 \cdot 12}{3 \cdot 12} - \frac{49}{36} = \frac{60}{36} - \frac{49}{36} = \frac{11}{36}$.

(A) Incorreta: Este valor não corresponde a nenhuma etapa intermediária ou erro comum de cálculo na determinação da variância.
(B) Correta: Para calcular a variância $Var(X)$, primeiro determinamos o valor da constante $K$ integrando a FDP de 0 a 2 e igualando a 1, o que nos dá $K=4$. Em seguida, calculamos o valor esperado $E[X] = \int_0^2 x \cdot f(x) \, dx = 7/6$ e o segundo momento $E[X^2] = \int_0^2 x^2 \cdot f(x) \, dx = 5/3$. Finalmente, aplicamos a fórmula $Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = 5/3 - (7/6)^2 = 5/3 - 49/36 = 60/36 - 49/36 = 11/36$.
(C) Incorreta: Este valor não é obtido por um erro comum de cálculo ou por uma etapa intermediária relevante no processo.
(D) Incorreta: Este valor corresponde a $(E[X])^2 = (7/6)^2 = 49/36$. A armadilha aqui é calcular corretamente a média e elevá-la ao quadrado, mas esquecer de subtrair este valor de $E[X^2]$ para obter a variância, ou confundir $(E[X])^2$ com a própria variância.
(E) Incorreta: Este valor não é resultado de um erro comum ou de uma etapa intermediária no cálculo da variância.