Questão de Estatística · FCC TRT4 2022 (nº 48)

A distribuição qui-quadrado é uma distribuição de probabilidade importante em estatística, que descreve a soma dos quadrados de variáveis normais padrão independentes, e suas propriedades como esperança e variância são diretamente determinadas pelos seus graus de liberdade ($k$). Para encontrar a esperança de $X^2$, $E(X^2)$, utilizamos a relação fundamental da variância, que conecta $E(X^2)$ com a esperança de $X$, $E(X)$.

• (A) Incorreta: Esta alternativa representa $[E(X)]^2 = k^2 = 4^2 = 16$. A armadilha da banca aqui é confundir $E(X^2)$ (esperança do quadrado) com $[E(X)]^2$ (quadrado da esperança), que são conceitos distintos e raramente iguais, exceto em casos muito específicos.
• (B) Correta: Para uma variável $X$ com distribuição qui-quadrado e $k$ graus de liberdade, sabemos que $E(X) = k$ e $Var(X) = 2k$. Usando a definição de variância, $Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$, podemos isolar $E(X^2)$: $E(X^2) = Var(X) + [E(X)]^2$. Com $k=4$, temos $E(X) = 4$ e $Var(X) = 2 \times 4 = 8$. Substituindo, $E(X^2) = 8 + (4)^2 = 8 + 16 = 24$.
• (C) Incorreta: Esta alternativa corresponde à variância de $X$, $Var(X) = 2k = 2 \times 4 = 8$.
• (D) Incorreta: Este valor não corresponde a nenhuma propriedade direta ou combinação comum de $E(X)$ e $Var(X)$ para a distribuição qui-quadrado.
• (E) Incorreta: Este valor não corresponde a nenhuma propriedade direta ou combinação comum de $E(X)$ e $Var(X)$ para a distribuição qui-quadrado.