Questão de Estatística · FCC TRT4 2022 (nº 41)

A distribuição exponencial é um modelo de probabilidade usado para descrever o tempo até a ocorrência de um evento, como a vida útil de um equipamento, onde a taxa de falha é constante. A média (ou valor esperado) de uma variável aleatória é o valor que esperamos obter em média ao longo de muitas observações. O lucro esperado é a soma dos possíveis lucros (ou perdas), cada um multiplicado pela sua probabilidade de ocorrência.

• Parâmetro da distribuição: A função densidade de probabilidade é $f(t) = \frac{1}{2} e^{-t/2}$. Comparando com a forma geral $f(t) = \lambda e^{-\lambda t}$, identificamos $\lambda = 1/2$.

• Média da duração de vida (m): Para uma distribuição exponencial, a média é $m = 1/\lambda$. Assim, $m = 1 / (1/2) = 2$ anos.

• Condição da garantia: A devolução do aparelho ocorre se $t < m/2$. Substituindo $m=2$, a condição é $t < 2/2 \implies t < 1$ ano.

• Lucro por equipamento:

  • Custo de fabricação: R$ 400,00
  • Preço de venda: R$ 1.000,00
  • Cenário 1: Não há defeito (T \geq\ 1 ano): O equipamento é vendido e não devolvido. Lucro = Preço de venda - Custo de fabricação = R$ 1.000,00 - R$ 400,00 = R$ 600,00.
  • Cenário 2: Há defeito (T < 1 ano): O equipamento é devolvido. A indústria perde a receita da venda, mas já arcou com o custo de fabricação. Lucro = R$ 0,00 (venda devolvida) - R$ 400,00 (custo) = -R$ 400,00 (prejuízo).

• Probabilidades: Para uma distribuição exponencial, $P(T \leq x) = 1 - e^{-\lambda x}$ e $P(T > x) = e^{-\lambda x}$.

  • Probabilidade de haver defeito (T < 1 ano): $P(T < 1) = 1 - e^{-(1/2) \times 1} = 1 - e^{-0.5}$. Usando o valor dado $e^{-0.5} = 0.61$, temos $P(T < 1) = 1 - 0.61 = 0.39$.
  • Probabilidade de não haver defeito (T \geq\ 1 ano): $P(T \geq 1) = e^{-(1/2) \times 1} = e^{-0.5} = 0.61$. (Alternativamente, $P(T \geq 1) = 1 - P(T < 1) = 1 - 0.39 = 0.61$).

• Lucro Esperado (E[L]):
  $E[L] = (\text{Lucro sem defeito}) \times P(\text{sem defeito}) + (\text{Lucro com defeito}) \times P(\text{com defeito})$
  $E[L] = (R$ 600,00) \times (0.61) + (-R$400,00) \times (0.39)$
  $E[L] = 366,00 - 156,00$
  E[L] = R\ 210,00$.

• (A) Incorreta: O cálculo correto do lucro esperado não resulta neste valor.

• (B) Incorreta: O cálculo correto do lucro esperado não resulta neste valor.

• (C) Correta: O lucro esperado é de R$ 210,00, calculado como (R$ 600,00 * 0.61) + (-R$ 400,00 * 0.39), onde R$ 600,00 é o lucro sem defeito, -R$ 400,00 é o prejuízo com defeito, 0.61 é a probabilidade de não haver defeito ($e^{-0.5}$), e 0.39 é a probabilidade de haver defeito ($1 - e^{-0.5}$).

• (D) Incorreta: Este valor seria obtido se o lucro por equipamento fosse considerado apenas o preço de venda (R$ 1.000,00) e a probabilidade de não haver defeito fosse calculada para $t \geq m$ (ou seja, $t \geq 2$ anos), resultando em $1000 \times e^{-1} = 1000 \times 0.37 = 370$. A armadilha aqui é ignorar o custo de fabricação e usar o limite de garantia incorreto.

• (E) Incorreta: O cálculo correto do lucro esperado não resulta neste valor.