Questão de Estatística · FCC TRT4 2022 (nº 40)

A distribuição uniforme contínua descreve uma situação onde todos os valores dentro de um intervalo específico, definido pelos parâmetros $a$ (mínimo) e $b$ (máximo), têm a mesma probabilidade de ocorrer. Fora desse intervalo, a probabilidade é zero.

• Cálculo dos parâmetros a e b:
  Para uma distribuição uniforme contínua, a média (ou esperança) é dada por $E[T] = \frac{a + b}{2}$ e a variância por $Var[T] = \frac{(b - a)^2}{12}$.
  Temos as seguintes informações:

  1. $E[T] = 4,5 \Rightarrow \frac{a + b}{2} = 4,5 \Rightarrow a + b = 9$ (Equação 1)
  2. $Var[T] = 0,75 \Rightarrow \frac{(b - a)^2}{12} = 0,75 \Rightarrow (b - a)^2 = 0,75 \times 12 \Rightarrow (b - a)^2 = 9$
     Como $a < b$, então $b - a$ deve ser positivo. Assim, $b - a = \sqrt{9} \Rightarrow b - a = 3$ (Equação 2)

  Agora, resolvemos o sistema de equações:
  (1) $a + b = 9$
  (2) $b - a = 3$
  Somando as duas equações: $(a + b) + (b - a) = 9 + 3 \Rightarrow 2b = 12 \Rightarrow b = 6$.
  Substituindo $b = 6$ na Equação 1: $a + 6 = 9 \Rightarrow a = 3$.
  Portanto, o tempo $T$ está distribuído uniformemente entre $a=3$ e $b=6$ dias.

• Cálculo da probabilidade $P(T < 5)$:
  A função de densidade de probabilidade é $f(t) = \frac{1}{b - a} = \frac{1}{6 - 3} = \frac{1}{3}$ para $3 \leq t < 6$.
  A probabilidade de o tempo ser inferior a 5 dias é a área sob a função de densidade de probabilidade de $t=3$ até $t=5$:
  $P(T < 5) = \int_{3}^{5} f(t) dt = \int_{3}^{5} \frac{1}{3} dt = \frac{1}{3} [t]_{3}^{5} = \frac{1}{3} (5 - 3) = \frac{1}{3} (2) = \frac{2}{3}$.

• (A) Incorreta: O valor de 7/9 não é obtido com os parâmetros corretos da distribuição.

• (B) Incorreta: O valor de 3/4 não corresponde à probabilidade calculada com os parâmetros $a=3$ e $b=6$.

• (C) Incorreta: O valor de 1/2 seria obtido se o intervalo fosse, por exemplo, de 3 a 5 dias, o que não é o caso.

• (D) Correta: A probabilidade de $T < 5$ é calculada como $\frac{5 - a}{b - a} = \frac{5 - 3}{6 - 3} = \frac{2}{3}$, após determinar corretamente os parâmetros $a=3$ e $b=6$ a partir da média e variância fornecidas.

• (E) Incorreta: O valor de 2/5 não é o resultado da probabilidade $P(T < 5)$ para esta distribuição.