Questão de Estatística · FCC TRT4 2022 (nº 39)

A Distribuição de Poisson é um modelo de probabilidade usado para contar o número de vezes que um evento raro acontece em um intervalo fixo de tempo ou espaço, quando a taxa média de ocorrência é constante. O único parâmetro é $\lambda$ (lambda), que representa essa taxa média. A probabilidade de ocorrerem $k$ eventos é dada por $P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$.

Primeiro, vamos encontrar o valor de $\lambda$ (média de reclamações por mês).
O problema afirma que a probabilidade de ocorrer uma reclamação em um mês é igual à probabilidade de ocorrerem duas reclamações em um mês.
$P(X=1) = P(X=2)$
$\frac{e^{-\lambda} \lambda^1}{1!} = \frac{e^{-\lambda} \lambda^2}{2!}$
Podemos simplificar $e^{-\lambda}$ de ambos os lados (já que $e^{-\lambda} \neq 0$) e $\lambda$ (já que $\lambda > 0$):
$\frac{\lambda}{1} = \frac{\lambda^2}{2}$
$1 = \frac{\lambda}{2}$
$\lambda = 2$
Portanto, a média de reclamações por mês é 2.

Agora, precisamos calcular a probabilidade para uma quinzena. Uma quinzena é metade de um mês. Se a taxa média para um mês é $\lambda = 2$, então a taxa média para uma quinzena ($\lambda_{quinzena}$) será a metade:
$\lambda_{quinzena} = \frac{\lambda}{2} = \frac{2}{2} = 1$.

A pergunta pede a probabilidade de que em uma quinzena ocorra uma reclamação ou ocorram duas reclamações. Como esses eventos são mutuamente exclusivos (não podem acontecer ao mesmo tempo), somamos suas probabilidades:
$P(Y=1 \text{ ou } Y=2) = P(Y=1) + P(Y=2)$, onde $Y$ é o número de reclamações na quinzena e $\lambda_{quinzena}=1$.

Calculando $P(Y=1)$:
$P(Y=1) = \frac{e^{-1} 1^1}{1!} = \frac{e^{-1} \cdot 1}{1} = e^{-1}$

Calculando $P(Y=2)$:
$P(Y=2) = \frac{e^{-1} 1^2}{2!} = \frac{e^{-1} \cdot 1}{2} = \frac{e^{-1}}{2}$

Somando as probabilidades:
$P(Y=1 \text{ ou } Y=2) = e^{-1} + \frac{e^{-1}}{2} = e^{-1} \left(1 + \frac{1}{2}\right) = e^{-1} \left(\frac{3}{2}\right) = 1.5e^{-1}$.

(A) Incorreta: O valor $3e^{-2}$ não é obtido por nenhum cálculo direto ou erro comum esperado.
(B) Correta: O cálculo correto, ajustando o parâmetro $\lambda$ para a quinzena (resultando em $\lambda_{quinzena}=1$) e somando as probabilidades de 1 e 2 reclamações, leva a $1.5e^{-1}$.
(C) Incorreta: O valor $2e^{-1}$ seria o dobro da probabilidade de uma reclamação na quinzena ($P(Y=1) = e^{-1}$), ou poderia ser $P(Y=2)$ se $\lambda_{quinzena}$ fosse 2 e o $e^{-2}$ fosse erroneamente substituído por $e^{-1}$.
(D) Incorreta: Esta é a armadilha mais tentadora. O valor $2e^{-2}$ seria obtido se o estudante não ajustasse o valor de $\lambda$ para a quinzena, usando $\lambda=2$ (o valor mensal) para o cálculo da quinzena, e ainda por cima calculasse apenas a probabilidade de uma reclamação ($P(Y=1)$ com $\lambda=2$) ou apenas a probabilidade de duas reclamações ($P(Y=2)$ com $\lambda=2$), em vez de somar as duas. Se $\lambda=2$ fosse usado para a quinzena, $P(Y=1) = \frac{e^{-2} 2^1}{1!} = 2e^{-2}$ e $P(Y=2) = \frac{e^{-2} 2^2}{2!} = 2e^{-2}$. A soma seria $4e^{-2}$, que não é uma opção.
(E) Incorreta: O valor $3e^{-1}$ não corresponde a nenhum cálculo direto ou erro comum.