Questão de Estatística · FCC TRT23 2022 (nº 56)

Uma série temporal é estacionária se suas propriedades estatísticas (como média e variância) não mudam ao longo do tempo, ou seja, o processo se comporta de forma consistente. Um modelo é invertível se ele pode ser reescrito como um modelo de média móvel de ordem infinita (para a parte AR) ou como um modelo autorregressivo de ordem infinita (para a parte MA), o que garante a unicidade e a interpretabilidade dos parâmetros.

Para um modelo ARMA(p,q) genérico $Z_t = \phi_1 Z_{t-1} + \dots + \phi_p Z_{t-p} + a_t - \theta_1 a_{t-1} - \dots - \theta_q a_{t-q}$:

• Estacionariedade (parte AR): O modelo é estacionário se o valor absoluto de cada coeficiente $\phi_i$ da parte AR for menor que 1, ou mais formalmente, se as raízes do polinômio característico AR ($1 - \phi_1 B - \dots - \phi_p B^p = 0$) estiverem fora do círculo unitário. Para um AR(1), isso significa que $|\phi_1| < 1$.
• Invertibilidade (parte MA): O modelo é invertível se o valor absoluto de cada coeficiente $\theta_i$ da parte MA for menor que 1, ou mais formalmente, se as raízes do polinômio característico MA ($1 - \theta_1 B - \dots - \theta_q B^q = 0$) estiverem fora do círculo unitário. Para um MA(1), isso significa que $|\theta_1| < 1$.

Analisando os modelos:

Modelo 1: $Z_t = 0,8Z_{t-1} + a_t - 0,3a_{t-1}$

• Parte AR: $\phi_1 = 0,8$. Como $|0,8| < 1$, o Modelo 1 é estacionário.
• Parte MA: $\theta_1 = 0,3$. Como $|0,3| < 1$, o Modelo 1 é invertível.

Modelo 2: $Z_t = 1,5Z_{t-1} + a_t - 0,6a_{t-1}$

• Parte AR: $\phi_1 = 1,5$. Como $|1,5| > 1$, o Modelo 2 é não estacionário.
• Parte MA: $\theta_1 = 0,6$. Como $|0,6| < 1$, o Modelo 2 é invertível.

(A) Incorreta: O Modelo 1 é estacionário, não não estacionário.
(B) Incorreta: O Modelo 2 é invertível, mas não é estacionário (pois $|\phi_1| = 1,5 > 1$). A armadilha aqui é confundir a condição de invertibilidade (que o Modelo 2 satisfaz) com a de estacionariedade (que ele não satisfaz).
(C) Incorreta: O Modelo 1 é invertível, mas o Modelo 2 não é estacionário.
(D) Correta: Conforme nossa análise, o Modelo 1 tem $\phi_1 = 0,8$ (que é menor que 1, tornando-o estacionário) e $\theta_1 = 0,3$ (que é menor que 1, tornando-o invertível).
(E) Incorreta: O Modelo 2 não é estacionário.