Questão de Estatística · FCC TRT23 2022 (nº 24)

Quando queremos calcular a probabilidade de um evento acontecer dado que outro evento já ocorreu, usamos a probabilidade condicional. A ideia é ajustar o nosso "universo" de possibilidades para apenas aqueles casos onde o evento que já ocorreu é verdadeiro. A fórmula geral é $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$, que significa "probabilidade de A dado B é igual à probabilidade de A e B acontecerem juntos, dividida pela probabilidade de B acontecer".

Vamos definir os eventos e probabilidades dadas:

• A: Eleitor mora no bairro Alfa. $P(A) = 0.30$
• B: Eleitor mora no bairro Beta. $P(B) = 0.20$
• G: Eleitor mora no bairro Gama. $P(G) = 1 - P(A) - P(B) = 1 - 0.30 - 0.20 = 0.50$
• X: Eleitor vota no candidato X.
• $\bar{X}$: Eleitor NÃO vota no candidato X.

Probabilidades condicionais de votar em X:

• $P(X|A) = 0.40 \implies P(\bar{X}|A) = 1 - 0.40 = 0.60$ (Prob. de não votar em X, dado que mora em Alfa)
• $P(X|B) = 0.30 \implies P(\bar{X}|B) = 1 - 0.30 = 0.70$ (Prob. de não votar em X, dado que mora em Beta)
• $P(X|G) = 0.60 \implies P(\bar{X}|G) = 1 - 0.60 = 0.40$ (Prob. de não votar em X, dado que mora em Gama)

Queremos encontrar $P(G|\bar{X})$, ou seja, a probabilidade de o eleitor morar no bairro Gama dado que ele não votou no candidato X.

1. Calcular a probabilidade total de um eleitor não votar em X ($P(\bar{X})$):
   Usamos a Lei da Probabilidade Total:
   $P(\bar{X}) = P(\bar{X}|A)P(A) + P(\bar{X}|B)P(B) + P(\bar{X}|G)P(G)$
   $P(\bar{X}) = (0.60)(0.30) + (0.70)(0.20) + (0.40)(0.50)$
   P(\bar{X}) = 0.18 + 0.14 + 0.20 = 0.52\

2. Calcular a probabilidade de o eleitor morar em Gama E não votar em X ($P(G \cap \bar{X})$):
   $P(G \cap \bar{X}) = P(\bar{X}|G)P(G)$
   P(G \cap \bar{X}) = (0.40)(0.50) = 0.20\

3. Calcular a probabilidade final $P(G|\bar{X})$:
   $P(G|\bar{X}) = \frac{P(G \cap \bar{X})}{P(\bar{X})} = \frac{0.20}{0.52}$
   Para simplificar a fração, multiplicamos numerador e denominador por 100 e depois dividimos pelo maior divisor comum (4):
   $\frac{20}{52} = \frac{20 \div 4}{52 \div 4} = \frac{5}{13}$

• (A) Incorreta: Esta alternativa não corresponde a nenhum cálculo lógico a partir dos dados fornecidos.
• (B) Incorreta: Esta alternativa não corresponde a nenhum cálculo lógico a partir dos dados fornecidos.
• (C) Incorreta: Esta é uma armadilha comum! O valor $5/8$seria a probabilidade de o eleitor morar em Gama *dado que ele votou em X* ($P(G|X)$), e não *dado que ele não votou em X*. Para$P(G|X)$, teríamos$P(X) = (0.4)(0.3) + (0.3)(0.2) + (0.6)(0.5) = 0.12 + 0.06 + 0.30 = 0.48$. E$P(G \cap X) = P(X|G)P(G) = (0.6)(0.5) = 0.30$. Assim,$P(G|X) = 0.30 / 0.48 = 30/48 = 5/8$. A pegadinha está em não prestar atenção ao "não votou em X".
• (D) Incorreta: Esta alternativa não corresponde a nenhum cálculo lógico a partir dos dados fornecidos.
• (E) Correta: Conforme demonstrado nos cálculos acima, a probabilidade de o eleitor morar no bairro Gama, sabendo que não votou em X, é de $5/13$.