Questão de Estatística · FCC TRT23 2022 (nº 28)

A esperança condicional $E(X|Y=y_0)$ representa o valor médio esperado da variável aleatória $X$ quando sabemos que a variável $Y$ assumiu um valor específico $y_0$. Para calculá-la em variáveis contínuas, primeiro encontramos a função de densidade de probabilidade condicional de $X$ dado $Y=y_0$, $f(x|y_0) = \frac{f(x,y_0)}{f_Y(y_0)}$, e depois integramos $x$ multiplicado por essa função condicional.

1. Encontrar o valor de K: A integral da função de densidade de probabilidade conjunta sobre todo o domínio deve ser igual a 1.
   $\int_0^1 \int_0^1 K(x+y) \,dx\,dy = 1$
   $\int_0^1 K \left[ \frac{x^2}{2} + xy \right]_0^1 \,dy = 1$
   $\int_0^1 K \left( \frac{1}{2} + y \right) \,dy = 1$
   $K \left[ \frac{y}{2} + \frac{y^2}{2} \right]_0^1 = 1$
   $K \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \right) = 1 \implies K=1$.
   Portanto, $f(x,y) = x+y$ para $0 < x < 1 e \0 < y < 1$.

2. Encontrar a função de densidade marginal de Y, $f_Y(y)$:
   $f_Y(y) = \int_0^1 f(x,y) \,dx = \int_0^1 (x+y) \,dx = \left[ \frac{x^2}{2} + xy \right]_0^1 = \frac{1}{2} + y$.
   Assim, $f_Y(y) = \frac{1}{2} + y$ para $0 < y < 1$.

3. Calcular $f_Y(1/2)$:
   $f_Y(1/2) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$.

4. Encontrar a função de densidade condicional $f(x|Y=1/2)$:
   $f(x|Y=1/2) = \frac{f(x, 1/2)}{f_Y(1/2)} = \frac{x+1/2}{1} = x+1/2$ para $0 < x < 1$.

5. Calcular a esperança condicional $E(X|Y=1/2)$:
   $E(X|Y=1/2) = \int_0^1 x \cdot f(x|Y=1/2) \,dx$
   $E(X|Y=1/2) = \int_0^1 x(x+1/2) \,dx = \int_0^1 (x^2 + x/2) \,dx$
   $E(X|Y=1/2) = \left[ \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{4} \right]_0^1 = \frac{1^3}{3} + \frac{1^2}{4} = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{4+3}{12} = \frac{7}{12}$.

• (A) Incorreta: Este valor não corresponde a nenhum erro comum de cálculo ou conceito nesta questão.
• (B) Incorreta: Este valor não corresponde a nenhum erro comum de cálculo ou conceito nesta questão.
• (C) Correta: O cálculo passo a passo da esperança condicional, seguindo a definição $E(X|Y=y_0) = \int x \cdot f(x|y_0) \,dx$, resulta em $7/12$.
• (D) Incorreta: Uma armadilha comum seria um erro na integração. Se, ao integrar $x^2$, o aluno cometesse o erro de obter $x^2/2$ em vez de $x^3/3$, o resultado seria $1/2 + 1/4 = 3/4$.
• (E) Incorreta: Este valor não corresponde a nenhum erro comum de cálculo ou conceito nesta questão.