Questão de Estatística · FCC TRT23 2022 (nº 27)

A função de probabilidade conjunta para variáveis discretas (que só podem assumir valores específicos, como números inteiros) nos diz a probabilidade de duas variáveis aleatórias, X e Y, assumirem valores específicos ao mesmo tempo. Para que seja uma função de probabilidade válida, a soma de todas as probabilidades possíveis para todos os pares (x,y) deve ser igual a 1.

Primeiro, precisamos encontrar o valor de K. Para isso, somamos $f(x,y)$ para todos os valores possíveis de x e y:
Os pares (x,y) são: (0,0), (0,1), (0,2), (1,0), (1,1), (1,2), (2,0), (2,1), (2,2).
Calculamos $x^2+y^2$ para cada par:
$0^2+0^2=0$
$0^2+1^2=1$
$0^2+2^2=4$
$1^2+0^2=1$
$1^2+1^2=2$
$1^2+2^2=5$
$2^2+0^2=4$
$2^2+1^2=5$
$2^2+2^2=8$
A soma de todos esses valores é $0+1+4+1+2+5+4+5+8 = 30$. Como a soma de todas as probabilidades deve ser 1, temos$K \times 30 = 1$, então$K = 1/30$.

Agora, queremos calcular $P(X+Y=2)$. Isso significa que precisamos identificar todos os pares (x,y) onde $x+y=2$ e somar suas probabilidades. Os pares que satisfazem $x+y=2$ dentro do domínio $x,y \in \{0,1,2\}$ são:

1. (0,2): f(0,2) = K(0^2+2^2) = K(4) = 4K\
2. (1,1): f(1,1) = K(1^2+1^2) = K(2) = 2K\
3. (2,0): $f(2,0) = K(2^2+0^2) = K(4) = 4K$

Somando essas probabilidades:
$P(X+Y=2) = 4K + 2K + 4K = 10K$
Substituindo o valor de $K = 1/30$:
$P(X+Y=2) = 10 \times (1/30) = 10/30 = 1/3$.

(A) Correta: 1/3. Este é o resultado obtido após calcular o valor de K e somar as probabilidades dos eventos onde $X+Y=2$.
(B) Incorreta: 1/5. Este valor seria obtido se a soma dos valores de $(x^2+y^2)$ para $X+Y=2$ fosse 6 (em vez de 10) ou se K fosse $1/50$. **(C) Incorreta:** 1/6. Este valor seria obtido se a soma dos valores de$(x^2+y^2)$para$X+Y=2 fosse 5 (em vez de 10) ou se K fosse \1/60$. **(D) Incorreta:** 1/2. Este valor seria obtido se a soma dos valores de$(x^2+y^2)$para$X+Y=2 fosse 15 (em vez de 10) ou se K fosse \1/20$. **(E) Incorreta:** 2/9. A armadilha aqui seria um erro na soma total dos valores de$(x^2+y^2) para encontrar K. Se, por exemplo, a soma fosse calculada incorretamente como 45 (em vez de 30), K seria \1/45$. Nesse caso,$P(X+Y=2) = 10K = 10/45 = 2/9$. Isso destaca a importância de calcular K com precisão.