Questão de Estatística · FCC TRT23 2022 (nº 26)

A função de densidade de probabilidade (PDF) de uma variável aleatória contínua descreve a probabilidade relativa de que a variável assuma um determinado valor, e a variância relativa é uma medida de dispersão que compara a variância com o quadrado da média.

Cálculo da Média ($E[X]$):
$E[X] = \int_{0}^{1} x \cdot f(x) \, dx = \int_{0}^{1} x \cdot 6(x - x^2) \, dx = \int_{0}^{1} 6(x^2 - x^3) \, dx$
$E[X] = 6 \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{1} = 6 \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) = 6 \left( \frac{4-3}{12} \right) = 6 \left( \frac{1}{12} \right) = \frac{1}{2} = 0.5$

Cálculo de $E[X^2]$:
$E[X^2] = \int_{0}^{1} x^2 \cdot f(x) \, dx = \int_{0}^{1} x^2 \cdot 6(x - x^2) \, dx = \int_{0}^{1} 6(x^3 - x^4) \, dx$
$E[X^2] = 6 \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{x^5}{5} \right]_{0}^{1} = 6 \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{5} \right) = 6 \left( \frac{5-4}{20} \right) = 6 \left( \frac{1}{20} \right) = \frac{6}{20} = \frac{3}{10} = 0.3$

Cálculo da Variância ($Var(X)$):
$Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = 0.3 - (0.5)^2 = 0.3 - 0.25 = 0.05$

Cálculo da Variância Relativa:
Variância Relativa $= \frac{Var(X)}{(E[X])^2} = \frac{0.05}{(0.5)^2} = \frac{0.05}{0.25} = \frac{5}{25} = \frac{1}{5} = 0.20$

(A) Incorreta: O valor 0,50 corresponde à média ($E[X]$) da variável aleatória X, não à variância relativa.
(B) Correta: A variância relativa é calculada como $Var(X) / (E[X])^2 = 0.05 / (0.5)^2 = 0.05 / 0.25 = 0.20$.
(C) Incorreta: O valor 0,10 seria obtido se a variância relativa fosse definida como $Var(X) / E[X]$ (ou seja, $0.05 / 0.5 = 0.10$), o que é uma definição incorreta para a variância relativa. Esta é a **armadilha da banca**, pois confunde o aluno com uma divisão por$E[X]$em vez de$(E[X])^2$. **(D) Incorreta:** O valor 0,25 corresponde ao quadrado da média ($(E[X])^2$), que é o denominador da fórmula da variância relativa. **(E) Incorreta:** O valor 0,05 corresponde à variância ($Var(X)$) da variável aleatória X, não à variância relativa.