Questão de Estatística · FCC TRT23 2022 (nº 21)

O conceito-chave aqui é a mediana para dados agrupados (calculada por interpolação linear) e a média para dados agrupados (calculada usando os pontos médios das classes). A mediana é o valor que divide um conjunto de dados ordenado em duas metades iguais. Para dados agrupados, ela é estimada pela fórmula $Md = L_{inf} + \left( \frac{N/2 - F_{ant}}{f_{med}} \right) \times h$, onde $L_{inf}$ é o limite inferior da classe mediana, $N$ é o total de observações, $F_{ant}$ é a frequência acumulada da classe anterior à mediana, $f_{med}$ é a frequência da classe mediana e $h$ é a amplitude da classe. A média para dados agrupados é aproximada por $\bar{x} = \frac{\sum (PM_i \times f_i)}{N}$, onde $PM_i$ é o ponto médio da classe $i$ e $f_i$ é sua frequência.

1. Calcular a Mediana das Mulheres ($M_w$):

   • Total de mulheres ($N_w$) = 100. A posição da mediana é $N_w/2 = 50$.
   • Frequências acumuladas para mulheres:
     • Classe 1 ([1500, 2500)): $f=10$, $F=10$
     • Classe 2 ([2500, 3500)): $f=40$, $F=10+40=50$
     • Classe 3 ([3500, 4500)): $f=30$, $F=50+30=80$
     • Classe 4 ([4500, 5500)): $f=20$, $F=80+20=100$
   • A 50ª observação cai exatamente na frequência acumulada da 2ª classe. Quando $N/2$ coincide com a frequência acumulada de uma classe, a mediana é o limite superior dessa classe.
   • Usando a fórmula de interpolação: $L_{inf} = 2500$, $F_{ant} = 10$, $f_{med} = 40$, $h = 1000$.
   • M_w = 2500 + \left( \frac{50 - 10}{40} \right) \times 1000 = 2500 + \left( \frac{40}{40} \right) \times 1000 = 2500 + 1000 = R\ 3.500,00$.

2. Calcular a Mediana dos Homens ($M_h$) e determinar $x$ e $y$ (análise da inconsistência):

   • O problema afirma que M_h = M_w + 425 = 3500 + 425 = R\ 3.925,00$.
   • Total de homens ($N_h$) = 100. A posição da mediana é $N_h/2 = 50$.
   • Frequências dos homens:
     • Classe 1 ([1500, 2500)): $f=20$, $F=20$
     • Classe 2 ([2500, 3500)): $f=x$, $F=20+x$
     • Classe 3 ([3500, 4500)): $f=y$, $F=20+x+y$
     • Classe 4 ([4500, 5500)): $f=10$, $F=20+x+y+10 = 30+x+y$
   • Sabemos que o total de homens é 100, então $30+x+y = 100 \implies x+y=70$ (Equação 1).
   • Como $M_h = 3925$, a classe mediana para homens deve ser [3500, 4500), pois $3925$está nesse intervalo. Para isso, a frequência acumulada da classe anterior deve ser menor que 50 ($20+x < 50 \implies x < 30$).
   • Aplicando a fórmula da mediana para homens: $L_{inf} = 3500$, $F_{ant} = 20+x$, $f_{med} = y$, $h = 1000$.
   • $3925 = 3500 + \left( \frac{50 - (20+x)}{y} \right) \times 1000$
   • $425 = \left( \frac{30 - x}{y} \right) \times 1000 \implies 0.425y = 30 - x \implies x + 0.425y = 30$ (Equação 2).
   • Resolvendo o sistema com $x=70-y$:
     $(70-y) + 0.425y = 30 \implies 70 - 0.575y = 30 \implies 0.575y = 40 \implies y = \frac{40}{0.575} = \frac{40000}{575} = \frac{1600}{23}$.
   • E $x = 70 - \frac{1600}{23} = \frac{1610 - 1600}{23} = \frac{10}{23}$.
   • Inconsistência: As frequências absolutas ($x$ e $y$) devem ser números inteiros, mas os valores calculados ($x \approx 0.435$, $y \approx 69.565$) são fracionários. Isso indica uma falha na construção do problema, pois as condições dadas levam a frequências não inteiras. Se usarmos esses valores para calcular a média, o resultado não estará entre as opções.

3. Reconciliação com o Gabarito (Assumindo a intenção da banca):
   Como o problema é inconsistente, para chegar a uma das alternativas, devemos assumir que a banca esperava que os valores de $x$ e $y$ fossem aqueles que levariam à resposta correta da média, mesmo que isso contradiga a condição da mediana.

   • Vamos expressar a média dos homens em função de $x$ e $y$:
     • Pontos médios (PM): Classe 1=2000, Classe 2=3000, Classe 3=4000, Classe 4=5000.
     • $\bar{x}_h = \frac{(2000 \times 20) + (3000 \times x) + (4000 \times y) + (5000 \times 10)}{100}$
     • $\bar{x}_h = \frac{40000 + 3000x + 4000y + 50000}{100} = \frac{90000 + 3000x + 4000y}{100} = 900 + 30x + 40y$.
   • Usando $y=70-x$:
     $\bar{x}_h = 900 + 30x + 40(70-x) = 900 + 30x + 2800 - 40x = 3700 - 10x$.
   • Agora, vamos verificar qual valor de $x$ (e consequentemente $y$) levaria a uma das alternativas. Se o gabarito for D) R$ 3.375,00:
     $3375 = 3700 - 10x$
     $10x = 3700 - 3375$$10x = 325 \implies x = 32.5$.
   • Se $x = 32.5$, então $y = 70 - 32.5 = 37.5$.
   • Armadilha da banca: Esses valores de $x=32.5$ e $y=37.5$ são fracionários (o que já é um problema para "frequências absolutas") e, mais importante, contradizem a condição da mediana. Se $x=32.5$, então $F_2 = 20+32.5 = 52.5$. Como $N/2=50$, a classe mediana seria [2500, 3500) (pois $F_1=20 < 50 \le F_2=52.5$), e não [3500, 4500). Se a classe mediana fosse [2500, 3500) com $x=32.5$, a mediana seria $M_h = 2500 + \left( \frac{50 - 20}{32.5} \right) \times 1000 \approx 3423.08$, o que é diferente do $M_h=3925$ dado no problema.
   • Apesar da inconsistência, a única forma de obter o gabarito D é assumindo $x=32.5$ e $y=37.5$.

A) Incorreta: R$ 3.925,00 é o valor da mediana dos homens, não da média.
B) Incorreta: Não corresponde ao valor da média calculada com os valores de $x$ e $y$ que levam ao gabarito.
C) Incorreta: Não corresponde ao valor da média calculada com os valores de $x$ e $y$ que levam ao gabarito.
D) Correta: Para que a média dos salários dos homens seja R$ 3.375,00, as frequências $x$ e $y$ deveriam ser $x=32.5$ e $y=37.5$. Embora esses valores sejam inconsistentes com a condição da mediana fornecida no problema (levando a uma mediana diferente e uma classe mediana incorreta), eles são os únicos que resultam na alternativa D.
E) Incorreta: Não corresponde ao valor da média calculada com os valores de $x$ e $y$ que levam ao gabarito.