Questão de Estatística · FCC TRT23 2022 (nº 39)

O método dos momentos é uma forma de estimar parâmetros desconhecidos de uma distribuição de probabilidade. Ele funciona igualando os momentos teóricos (valores esperados calculados a partir da fórmula da distribuição) aos momentos amostrais (valores calculados diretamente dos dados da amostra). Para o primeiro momento, igualamos a média teórica ($E[X]$) à média da amostra ($\bar{X}$).

1. Identificar a distribuição e seu primeiro momento teórico: A função de densidade de probabilidade dada é $f(x) = \lambda e^{-\lambda x}$, que é a distribuição exponencial. Para esta parametrização, a média teórica (primeiro momento) é $E[X] = 1/\lambda$.
2. Calcular o primeiro momento amostral: A amostra é $\{1, 2, 2, 3, 2\}$. A média da amostra ($\bar{X}$) é a soma dos valores dividida pelo número de valores:
   $\bar{X} = (1 + 2 + 2 + 3 + 2) / 5 = 10 / 5 = 2$.
3. Igualar os momentos e resolver para $\lambda$: Pelo método dos momentos, igualamos o momento teórico ao momento amostral:
   $E[X] = \bar{X}$
   $1/\lambda = 2$
   Para encontrar $\lambda$, invertemos ambos os lados:
   $\lambda = 1/2 = 0.5$.

(A) Incorreta: O valor 0,2 não é obtido pela aplicação correta do método dos momentos para esta distribuição e amostra.
(B) Incorreta: O valor 0,8 não é o resultado da estimativa correta.
(C) Incorreta: O valor 1,0 não é o resultado da estimativa correta.
(D) Correta: A estimativa pontual de $\lambda$ é 0,5. Isso é obtido ao igualar a média teórica da distribuição exponencial ($1/\lambda$) à média da amostra ($\bar{X} = 2$), resultando em $1/\lambda = 2$, o que implica $\lambda = 0.5$. A armadilha comum aqui seria confundir o parâmetro $\lambda$ com a média da distribuição, ou seja, pensar que $E[X] = \lambda$ em vez de $E[X] = 1/\lambda$. Se a média fosse $\lambda$, a estimativa seria $\bar{X}=2$, mas 2 não é uma opção. A chave é lembrar a fórmula correta da média para a parametrização dada.
(E) Incorreta: O valor 0,4 não é o resultado da estimativa correta.