Questão de Estatística · FCC TRT23 2022 (nº 40)

O teste de hipóteses é um método para usar dados de uma amostra e decidir se uma suposição sobre a população (como sua média) é verdadeira. Um erro tipo I acontece quando rejeitamos uma suposição (a hipótese nula, $H_0$) que, na verdade, é verdadeira. Para não cometer esse erro, precisamos que o resultado do nosso teste não caia na 'região de rejeição' da hipótese nula.

Para resolver a questão:

1. Identificar os parâmetros do teste:

   • Hipótese nula ($H_0$): $\mu = 15$
   • Hipótese alternativa ($H_1$): $\mu < 15$ (teste unilateral à esquerda)
   • Nível de significância ($\alpha$): 5% ou 0,05
   • Tamanho da amostra ($n$): 9
   • Graus de liberdade ($df = n-1$): $9 - 1 = 8$
   • Variância amostral ($s^2$): 4, então o desvio padrão amostral ($s$) é $\sqrt{4} = 2$.
   • Estatística de teste: t = \frac{\bar{X} - \mu_0}{s / \sqrt{n}}\

2. Determinar o valor crítico de t:

   • Como é um teste unilateral à esquerda com $\alpha = 0.05$ e $df = 8$, procuramos na tabela o valor $t_{0.05}$ para 8 graus de liberdade.
   • Na tabela, para $df=8$ e $\alpha=0.05$, encontramos $t_{0.05} = 1.860$.
   • Como o teste é unilateral à esquerda ($H_1: \mu < 15$), o valor crítico é negativo: $t_{crítico} = -1.860$.
   • A região de rejeição é $t < -1.860$.

3. Interpretar "não se cometa um erro tipo I":

   • Não cometer um erro tipo I significa que a hipótese nula ($H_0$) não é rejeitada. Isso ocorre quando a estatística de teste calculada ($t$) não cai na região de rejeição, ou seja, $t \ge t_{crítico}$.
   • A questão pede o menor valor da média amostral ($\bar{X}$) para que isso aconteça. Esse menor valor ocorre exatamente na fronteira da região de não rejeição, ou seja, quando $t = t_{crítico}$.

4. Calcular o desvio padrão da média (erro padrão):

   • SE = s / \sqrt{n} = 2 / \sqrt{9} = 2 / 3 \approx 0.6667\

5. Resolver para $\bar{X}$:

   • Usamos a fórmula da estatística t, igualando-a ao valor crítico:
     $t_{crítico} = \frac{\bar{X} - \mu_0}{s / \sqrt{n}}$
     $-1.860 = \frac{\bar{X} - 15}{2 / 3}$
   • Multiplicamos ambos os lados por $2/3$:$\bar{X} - 15 = -1.860 \times (2/3)$$\bar{X} - 15 = -1.24$
   • Isolamos $\bar{X}$:
     $\bar{X} = 15 - 1.24$
     $\bar{X} = 13.76$

Portanto, o menor valor para a média amostral $\bar{X}$ que não leva à rejeição de $H_0$ (e, consequentemente, não comete um erro tipo I) é 13.76.

Comentário das alternativas:

• (A) Incorreta: Este valor não corresponde ao cálculo correto do limite da região de não rejeição.
• (B) Correta: Este é o valor da média amostral ($\bar{X}$) que, quando substituído na fórmula do t-test, resulta exatamente no valor t-crítico de -1.860. Qualquer $\bar{X}$ maior ou igual a 13.76 fará com que o teste não rejeite a hipótese nula, evitando um erro tipo I.
• (C) Incorreta: Este valor não corresponde ao cálculo correto. A armadilha da banca poderia ser um erro de sinal no t-crítico ou o uso de um nível de significância diferente, mas este valor não se alinha com os erros comuns.
• (D) Incorreta: Este valor não corresponde ao cálculo correto.
• (E) Incorreta: Este valor não corresponde ao cálculo correto. Se o t-crítico fosse positivo (1.860), a média amostral seria $15 + 1.24 = 16.24$, que também não é esta alternativa.