Questão de Estatística · FCC TRT23 2022 (nº 38)

A distribuição binomial modela o número de sucessos em uma sequência de $n$ tentativas independentes, onde cada tentativa tem a mesma probabilidade $p$ de sucesso. Suas características principais são a média $E[X] = np$, o desvio padrão $\sigma_X = \sqrt{np(1-p)}$ e a função geradora de momentos (FGM) $M_X(t) = (1-p + pe^t)^n$.

Para encontrar a FGM, precisamos primeiro determinar os parâmetros $n$ e $p$ da distribuição, usando as informações dadas:

1. A média é $E[X] = np = 9$.
2. O desvio padrão é $\sigma_X = 1,5$. Portanto, a variância é $Var[X] = \sigma_X^2 = (1,5)^2 = 2,25$.
3. A variância de uma distribuição binomial é $Var[X] = np(1-p)$.

Substituindo $np=9$ na equação da variância:
$9(1-p) = 2,25$$1-p = \frac{2,25}{9} \1-p = 0,25$$p = 1 - 0,25$$p = 0,75$

Agora, usamos $np=9$ para encontrar $n$:
$n(0,75) = 9$
$n = \frac{9}{0,75}$
$n = 12$

Com $n=12$ e $p=0,75$, podemos construir a FGM:
$M_X(t) = (1-p + pe^t)^n$
$M_X(t) = (1 - 0,75 + 0,75e^t)^{12}$
$M_X(t) = (0,25 + 0,75e^t)^{12}$

• (A) Incorreta: Esta alternativa inverte os valores de $p$ e $1-p$ (assumindo $p=0,25$) e mantém $n=12$.
• (B) Incorreta: Esta alternativa inverte os valores de $p$ e $1-p$ (assumindo $p=0,25$) e usa $n=9$, que é o valor da média, não o número de tentativas.
• (C) Incorreta: Esta alternativa inverte os valores de $p$ e $1-p$ (assumindo $p=0,25$) e usa $n=18$, que não corresponde aos parâmetros calculados.
• (D) Incorreta: Esta é a alternativa mais tentadora. Ela usa o valor correto de $p=0,75$ (e, consequentemente, $1-p=0,25$), mas utiliza$n=9$como expoente. A armadilha aqui é confundir o número de tentativas ($n$) com o valor da média ($np=9$). O expoente da FGM é sempre$n$, não a média.
• (E) Correta: Esta alternativa apresenta a função geradora de momentos correta, $M_X(t) = (0,25 + 0,75e^t)^{12}$, com $n=12$ e $p=0,75$, que são os parâmetros calculados a partir da média e do desvio padrão fornecidos.