Questão de Estatística · FCC TRT23 2022 (nº 35)

A distribuição normal (ou gaussiana) é um modelo estatístico que descreve dados que tendem a se agrupar em torno de uma média (o valor central), com a frequência diminuindo simetricamente à medida que nos afastamos dela, formando uma curva em forma de sino. Para comparar valores de diferentes distribuições normais, usamos o escore Z (ou Z-score), que indica quantos desvios-padrão (uma medida de dispersão dos dados) um determinado valor está acima ou abaixo da média.

Para resolver a questão, primeiro determinamos a média ($\mu$) e o desvio-padrão ($\sigma$) dos salários usando as informações fornecidas e a tabela Z.

1. Dados fornecidos:

   • $P(X < 3000) = 0.07$
   • P(X > 8000) = 0.16 \implies P(X \le 8000) = 1 - 0.16 = 0.84\

2. Encontrar os Z-scores correspondentes na tabela:

   • Para $P(Z \le z) = 0.07$: O valor mais próximo na tabela é $P(Z \le -1.50) = 0.0668 \approx 0.07$. Então, $Z_1 = -1.50$.
   • Para $P(Z \le z) = 0.84$: O valor mais próximo na tabela é $P(Z \le 1.00) = 0.8413 \approx 0.84$. Então, $Z_2 = 1.00$.

3. Montar e resolver o sistema de equações:

   • $Z_1 = \frac{3000 - \mu}{\sigma} \implies 3000 - \mu = -1.50\sigma$ (Equação 1)
   • $Z_2 = \frac{8000 - \mu}{\sigma} \implies 8000 - \mu = 1.00\sigma$ (Equação 2)

   Subtraindo a Equação 1 da Equação 2:
   $(8000 - \mu) - (3000 - \mu) = 1.00\sigma - (-1.50\sigma)$
   $5000 = 2.50\sigma$
   $\sigma = \frac{5000}{2.50} = 2000$

   Substituindo $\sigma = 2000$ na Equação 2:
   $8000 - \mu = 1.00 \times 2000$
   $8000 - \mu = 2000$
   $\mu = 8000 - 2000 = 6000$

   Portanto, a média dos salários é R$ 6.000,00 e o desvio-padrão é R$ 2.000,00.

4. Calcular a porcentagem de funcionários que ganham um salário que difere da média em mais de R$ 1.000,00:
   Isso significa $P(|X - \mu| > 1000)$, que é $P(X - \mu > 1000)$ ou $P(X - \mu < -1000)$.
   Ou seja, $P(X > \mu + 1000) + P(X < \mu - 1000)$.
   Com $\mu = 6000$: $P(X > 7000) + P(X < 5000)$.

   Convertendo para Z-scores:

   • Para $X = 7000$: $Z = \frac{7000 - 6000}{2000} = \frac{1000}{2000} = 0.50$
   • Para $X = 5000$: $Z = \frac{5000 - 6000}{2000} = \frac{-1000}{2000} = -0.50$

   Precisamos calcular $P(Z > 0.50) + P(Z < -0.50)$.
   Pela simetria da curva normal, $P(Z > 0.50) = P(Z < -0.50)$.
   Consultando a tabela para $Z = -0.50$:
   $P(Z \le -0.50) = 0.3085$.

   A probabilidade total é $0.3085 + 0.3085 = 2 \times 0.3085 = 0.6170$.
   Convertendo para porcentagem, temos $61.70\%$, que arredondado para o número inteiro mais próximo é $62\%$.

(A) Correta: A porcentagem de funcionários que ganham um salário que difere da média em mais de R$ 1.000,00 é de 62%, conforme calculado através da padronização dos valores para a distribuição normal (Z-scores) e consulta à tabela.
(B) Incorreta: Esta alternativa não corresponde ao cálculo correto da probabilidade de desvio da média em mais de R$ 1.000,00. Um distrator comum seria interpretar a questão como "dentro de 1 desvio padrão", mas 0.5 desvio padrão não resulta em 50%.
(C) Incorreta: Esta alternativa não é resultado de um cálculo correto ou de uma interpretação comum da questão.
(D) Incorreta: Esta alternativa não é resultado de um cálculo correto ou de uma interpretação comum da questão.
(E) Incorreta: Esta alternativa não é resultado de um cálculo correto ou de uma interpretação comum da questão.