Questão de Estatística · FCC TRT23 2022 (nº 34)

Uma distribuição uniforme significa que todos os valores dentro de um certo intervalo têm a mesma probabilidade de ocorrer. As estatísticas de ordem são os valores de uma amostra aleatória quando organizados em ordem crescente; por exemplo, $Y_1$ é o menor valor e $Y_2$ é o maior valor em uma amostra de tamanho 2.

Primeiro, precisamos encontrar os parâmetros $a$ e $b$ da distribuição uniforme $X \sim U(a, b)$.
A média de uma distribuição uniforme é $(a+b)/2$. Dado que a média é 2, temos:
$(a+b)/2 = 2 \Rightarrow a+b = 4$ (Equação 1)

A variância de uma distribuição uniforme é $(b-a)^2/12$. Dado que a variância é 4/3, temos:
$(b-a)^2/12 = 4/3$
$(b-a)^2 = (4/3) \times 12$
$(b-a)^2 = 16$
$b-a = \sqrt{16}$ (como $b>a$, pegamos a raiz positiva)
$b-a = 4$ (Equação 2)

Agora, resolvemos o sistema de equações:

1. a+b = 4\
2. $b-a = 4$
   Somando (1) e (2): $(a+b) + (b-a) = 4+4 \Rightarrow 2b = 8 \Rightarrow b = 4$.
   Substituindo $b=4$ na Equação 1: $a+4 = 4 \Rightarrow a = 0$.
   Portanto, a variável aleatória $X$ é uniformemente distribuída no intervalo $(0, 4)$, ou seja, $X \sim U(0, 4)$.
   A função densidade de probabilidade (PDF) de $X$ é $f(x) = 1/(b-a) = 1/(4-0) = 1/4$ para $0 < x < 4$, e 0 caso contrário. A função de distribuição acumulada (CDF) de$X$é$F(x) = x/4 para \0 < x < 4$.

Agora, queremos calcular $P(Y_2 > 3)$, onde $Y_2 = \max(X_1, X_2)$ para uma amostra de tamanho 2 ($X_1, X_2$) extraída com reposição.
É mais fácil calcular $P(Y_2 > 3)$ como $1 - P(Y_2 \le 3)$.
$P(Y_2 \le 3) = P(\max(X_1, X_2) \le 3)$.
Para que o máximo de $X_1$ e $X_2$ seja menor ou igual a 3, ambos $X_1$ e $X_2$ devem ser menores ou iguais a 3.
Como $X_1$ e $X_2$ são independentes (devido à extração com reposição), temos:
$P(\max(X_1, X_2) \le 3) = P(X_1 \le 3 \text{ e } X_2 \le 3) = P(X_1 \le 3) \times P(X_2 \le 3)$.

Vamos calcular $P(X \le 3)$ para $X \sim U(0, 4)$:
$P(X \le 3) = \int_0^3 (1/4) dx = [x/4]_0^3 = 3/4 - 0/4 = 3/4$.
(Ou, usando a CDF, $F(3) = 3/4$).

Então, $P(Y_2 \le 3) = (3/4) \times (3/4) = 9/16$.
Finalmente, $P(Y_2 > 3) = 1 - P(Y_2 \le 3) = 1 - 9/16 = (16-9)/16 = 7/16$.

(A) Incorreta: Esta alternativa (1/4) seria $P(X > 3)$, que é $1 - P(X \le 3) = 1 - 3/4 = 1/4$. É uma armadilha comum confundir a probabilidade de um único valor da variável com a probabilidade de uma estatística de ordem.
(B) Correta: O cálculo correto dos parâmetros da distribuição uniforme e a aplicação da propriedade da distribuição do máximo de variáveis independentes levam a $P(Y_2 > 3) = 7/16$.
(C) Incorreta: Esta alternativa (1/2) seria $P(X > 2)$, que é $1 - P(X \le 2) = 1 - 2/4 = 1/2$. Não se aplica ao problema.
(D) Incorreta: Não há um cálculo direto ou uma interpretação comum que leve a este valor neste contexto.
(E) Incorreta: Não há um cálculo direto ou uma interpretação comum que leve a este valor neste contexto.