Questão de Estatística · FCC TRT23 2022 (nº 33)

A Distribuição de Poisson descreve a probabilidade de um certo número de eventos ocorrerem em um intervalo fixo de tempo ou espaço, sabendo a taxa média desses eventos ($\lambda$). O coeficiente de variação (CV) é uma medida de dispersão relativa, calculada como o desvio padrão dividido pela média, indicando a variabilidade dos dados em relação à sua média.

Para uma distribuição de Poisson:

• A função de probabilidade é $P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$.
• A média é $E[X] = \lambda$.
• O desvio padrão é $DP[X] = \sqrt{\lambda}$.
• O coeficiente de variação é $CV = \frac{DP[X]}{E[X]} = \frac{\sqrt{\lambda}}{\lambda} = \frac{1}{\sqrt{\lambda}}$.

Dado que $P(N=1) = \frac{1}{2} P(N=2)$:
$P(N=1) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^1}{1!} = e^{-\lambda} \lambda$
$P(N=2) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^2}{2!} = \frac{e^{-\lambda} \lambda^2}{2}$

Substituindo na relação dada:
$e^{-\lambda} \lambda = \frac{1}{2} \left( \frac{e^{-\lambda} \lambda^2}{2} \right)$
$e^{-\lambda} \lambda = \frac{e^{-\lambda} \lambda^2}{4}$

Dividindo ambos os lados por $e^{-\lambda} \lambda$ (assumindo $\lambda > 0$):
$1 = \frac{\lambda}{4}$
$\lambda = 4$

Agora, calculamos o coeficiente de variação:
$CV = \frac{1}{\sqrt{\lambda}} = \frac{1}{\sqrt{4}} = \frac{1}{2} = 0,500$.

• (A) Incorreta: Esta alternativa seria o resultado se o coeficiente de variação fosse $1/\lambda$, o que não é o caso para a distribuição de Poisson. A "armadilha" da banca pode ser confundir a fórmula do CV.
• (B) Incorreta: O valor calculado para o coeficiente de variação é 0,500.
• (C) Incorreta: O valor calculado para o coeficiente de variação é 0,500.
• (D) Correta: O coeficiente de variação é calculado como $1/\sqrt{\lambda}$. Após determinar que $\lambda=4$ a partir da relação de probabilidades fornecida, o CV é $1/\sqrt{4} = 1/2 = 0,500$.
• (E) Incorreta: O valor calculado para o coeficiente de variação é 0,500.