Questão de Estatística · FCC TRT23 2022 (nº 32)

A distribuição exponencial é usada para modelar o tempo até um evento ocorrer, como a vida útil de um componente. Sua característica mais importante é a propriedade de falta de memória (ou "memória zero"), que significa que a probabilidade de um evento futuro não depende de quanto tempo já se passou sem que o evento tenha ocorrido.

• Parâmetro da distribuição: A função de densidade de probabilidade é $f(t) = \frac{1}{40}e^{-t/40}$, o que indica que $\lambda = 1/40$.

• Média de T: Para uma distribuição exponencial, a média é $E[T] = 1/\lambda = 1/(1/40) = 40$ horas.

• A pergunta: Queremos a probabilidade de que a bateria dure pelo menos mais a média (40 horas), dado que já durou 20 horas. Isso pode ser escrito como $P(T > 20 + 40 | T > 20)$.

• Propriedade de falta de memória: Para uma variável aleatória exponencial $T$, $P(T > a+b | T > a) = P(T > b)$.

• Aplicando a propriedade: Com $a = 20$ horas e $b = 40$ horas (a média), a probabilidade se torna $P(T > 40)$.

• Cálculo final: Para uma distribuição exponencial, $P(T > x) = e^{-\lambda x}$.
  Então, $P(T > 40) = e^{-(1/40) \times 40} = e^{-1}$.

• (A) Incorreta: Esta seria $P(T > 20) = e^{-20/40} = e^{-1/2}$, que é a probabilidade de a bateria durar mais de 20 horas, sem considerar a condição ou a duração adicional da média.

• (B) Incorreta: Esta seria $P(T > 20 + 40) = P(T > 60) = e^{-60/40} = e^{-3/2}$. Armadilha da banca: Este é o distrator mais tentador. Ele ignora a propriedade de falta de memória e calcula a probabilidade de a bateria durar um total de 60 horas desde o início, em vez de calcular a probabilidade de durar 40 horas adicionais após já ter durado 20. O erro está em não aplicar a probabilidade condicional corretamente, ou seja, não usar a propriedade de falta de memória.

• (C) Correta: A probabilidade de que a bateria dure, além das 20 horas, pelo menos mais o tempo correspondente à média de T (40 horas), dado que já durou 20 horas, é $P(T > 20 + 40 | T > 20)$. Pela propriedade de falta de memória da distribuição exponencial, isso é equivalente a $P(T > 40)$, que é $e^{-(1/40) \times 40} = e^{-1}$.

• (D) Incorreta: Esta expressão $(1 - e^{-1/2})$ seria $1 - P(T > 20) = P(T \le 20)$, ou seja, a probabilidade de a bateria falhar em até 20 horas. Não se relaciona com a pergunta.

• (E) Incorreta: Esta expressão $e^{-1/2} - e^{-1}$ seria $P(T > 20) - P(T > 40) = P(20 < T \le 40)$, ou seja, a probabilidade de a bateria durar entre 20 e 40 horas. Não se relaciona com a pergunta.