Questão de Estatística · FCC TRT18 2022 (nº 59)

Um modelo ARMA descreve uma série temporal usando uma combinação de seus valores passados (parte AR, de AutoRegressivo) e erros passados (parte MA, de Média Móvel). Para ser útil, queremos que o modelo seja estacionário (suas propriedades estatísticas não mudam com o tempo) e invertível (podemos expressar o erro atual como uma combinação dos valores passados da série).

O modelo dado é $Y_t = Y_{t-1} - 0,25Y_{t-2} + e_t - 0,1e_{t-1}$.
Reescrevendo com o operador de defasagem $B$:
$(1 - B + 0,25B^2)Y_t = (1 - 0,1B)e_t$

A parte AR é $\phi(B) = 1 - B + 0,25B^2$. O grau do polinômio é 2, então é um AR(2).
Para estacionariedade, as raízes de $\phi(z) = 0$ devem estar fora do círculo unitário.
$1 - z + 0,25z^2 = 0 \implies 0,25z^2 - z + 1 = 0 \implies z^2 - 4z + 4 = 0 \implies (z-2)^2 = 0$.
As raízes são $z_1 = z_2 = 2$. Como $|2| > 1$, as raízes estão fora do círculo unitário, e o processo é estacionário.

A parte MA é $\theta(B) = 1 - 0,1B$. O grau do polinômio é 1, então é um MA(1).
Para invertibilidade, as raízes de $\theta(z) = 0$ devem estar fora do círculo unitário.
$1 - 0,1z = 0 \implies 0,1z = 1 \implies z = 10$.
Como $|10| > 1$, a raiz está fora do círculo unitário, e o processo é invertível.

Portanto, o modelo é um ARMA(2,1) que é estacionário e invertível.

• (A) Incorreta: O modelo é ARMA(2,1), não ARMA(1,1). A invertibilidade também está incorreta.
• (B) Incorreta: O modelo é ARMA(2,1), não MA(2). A estacionariedade também está incorreta.
• (C) Incorreta: O modelo é ARMA, não ARIMA (não há componente 'I' de integração/diferenciação). A estacionariedade e invertibilidade também estão incorretas. Armadilha: A banca tenta confundir ARMA com ARIMA. Um modelo ARIMA inclui um componente de diferenciação (o 'I') para tornar a série estacionária. Como o modelo dado já é estacionário, ele é um ARMA e não um ARIMA.
• (D) Correta: O modelo é ARMA(2,1) (grau 2 na parte AR e grau 1 na parte MA), e o processo é estacionário (raízes da parte AR fora do círculo unitário) e invertível (raízes da parte MA fora do círculo unitário).
• (E) Incorreta: O modelo é ARMA(2,1), não AR(1). A invertibilidade também está incorreta.