Questão de Estatística · FCC TRT18 2022 (nº 31)

O conceito-chave aqui é entender e calcular as medidas de posição: a moda (o valor que mais aparece), a mediana (o valor central de um conjunto ordenado) e a média aritmética (a soma de todos os valores dividida pelo total de valores).

1. Total de Dias (N):
   Primeiro, calculamos o número total de dias (N).
   $N = 10 + 15 + m + n + 12 + 5 = 42 + (m+n)$
   Dado que $(m+n) = 57$, temos $N = 42 + 57 = 99$ dias.

2. Determinar m e n usando a Mediana:

   • Como $N=99$ (ímpar), a mediana é o valor na posição $(N+1)/2 = (99+1)/2 = 50ª$ posição.
   • O problema afirma que a mediana é 2,5. Para que uma variável discreta (número de ocorrências, que são inteiros) tenha uma mediana de 2,5, a interpretação mais comum em problemas é que o 50º valor é 2 e o 51º valor é 3, e a mediana é a média desses dois valores $(2+3)/2 = 2,5$.
   • Vamos analisar as frequências acumuladas:
     • Até $i=0$: 10 dias
     • Até $i=1$: $10 + 15 = 25$ dias
     • Até $i=2$: $25 + m$ dias
     • Até $i=3$: $25 + m + n = 25 + 57 = 82$ dias
   • Para que o 50º valor seja 2: A frequência acumulada até $i=1$ (25) deve ser menor que 50, e a frequência acumulada até $i=2$ ($25+m$) deve ser maior ou igual a 50.
     $25 < 50 \le 25 + m \Rightarrow m \ge 25$.
   • Para que o 51º valor seja 3: A frequência acumulada até $i=2$ ($25+m$) deve ser menor que 51, e a frequência acumulada até $i=3$ ($82$) deve ser maior ou igual a 51.$25 + m < 51 \Rightarrow m < 26$.
   • Combinando $m \ge 25$ e $m < 26$, e sabendo que $m$ é um inteiro positivo, concluímos que $m = 25$.
   • Usando a relação $m+n=57$: $25+n=57 \Rightarrow n=32$.

3. Calcular a Moda:

   • A moda é o valor com a maior frequência.
   • Frequências: $i=0 (10)$, $i=1 (15)$, $i=2 (m=25)$, $i=3 (n=32)$, $i=4 (12)$, $i=5 (5)$.
   • A maior frequência é 32, que corresponde a $i=3$.
   • Portanto, Moda = 3.

4. Calcular a Média Aritmética:

   • Média = $\frac{\sum (\text{ocorrências} \times \text{frequência})}{\text{Total de dias}}$
   • $\sum (\text{ocorrências} \times \text{frequência}) = (0 \times 10) + (1 \times 15) + (2 \times 25) + (3 \times 32) + (4 \times 12) + (5 \times 5)$
     $= 0 + 15 + 50 + 96 + 48 + 25 = 234$.
   • Média = $234 / 99$.
   • Simplificando a fração (dividindo numerador e denominador por 9): Média = 26 / 11 \approx 2,3636...\

5. Calcular a Razão (Moda / Média Aritmética):

   • Razão = Moda / Média = 3 / (26/11) = 3 \times (11/26) = 33/26 \approx 1,2692...\

6. A "Pegadinha" e a Alternativa Correta:

   • O valor exato da razão ($1,2692...$) não está nas alternativas. Para chegar à alternativa C (1,25), a Média Aritmética calculada (2,3636...) precisa ser arredondada para uma casa decimal, resultando em 2,4. Essa é a "pegadinha" da banca, pois o arredondamento não é explicitamente solicitado.
   • Média Aritmética (arredondada) $\approx 2,4$.
   • Razão = Moda / Média (arredondada) = $3 / 2,4 = 3 / (12/5) = 3 \times (5/12) = 15/12 = 5/4 = 1,25$.

• (A) Incorreta: O valor calculado para a razão não corresponde a 0,80.
• (B) Incorreta: O valor calculado para a razão não corresponde a 1,50.
• (C) Correta: Após determinar $m=25$ e $n=32$ pela mediana, a moda é 3 e a média é $26/11 \approx 2,3636...$. Para que a razão Moda/Média seja 1,25, a média deve ser arredondada para 2,4. Assim, $3 / 2,4 = 1,25$. A "pegadinha" está no arredondamento implícito da média.
• (D) Incorreta: O valor calculado para a razão não corresponde a 1,00.
• (E) Incorreta: O valor calculado para a razão não corresponde a 1,80.