Questão de Estatística · FCC TRT18 2022 (nº 36)

Uma variável aleatória contínua é aquela que pode assumir qualquer valor dentro de um intervalo, e sua probabilidade é descrita por uma função de densidade de probabilidade (f.d.p.) $f(x)$. A esperança (média) $E[X]$ é o valor médio esperado da variável, calculado pela integral de $x \cdot f(x)$. A moda é o valor de $x$ onde a f.d.p. $f(x)$ atinge seu valor máximo.

Primeiro, calculamos a média (esperança) $E[X]$:
$E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) dx$
Como $f(x)$ é não nula apenas para $0 < x < 1$:$E[X] = \int_{0}^{1} x \cdot [1,5(-x^2 + 2x)] dx$$E[X] = 1,5 \int_{0}^{1} (-x^3 + 2x^2) dx$$E[X] = 1,5 \left[ -\frac{x^4}{4} + \frac{2x^3}{3} \right]_{0}^{1}$$E[X] = 1,5 \left( \left(-\frac{1^4}{4} + \frac{2 \cdot 1^3}{3}\right) - \left(-\frac{0^4}{4} + \frac{2 \cdot 0^3}{3}\right) \right)$$E[X] = 1,5 \left( -\frac{1}{4} + \frac{2}{3} \right)$$E[X] = \frac{3}{2} \left( \frac{-3 + 8}{12} \right)$$E[X] = \frac{3}{2} \left( \frac{5}{12} \right) = \frac{15}{24} = \frac{5}{8}$

Em seguida, calculamos a moda. A moda é o valor de $x$ que maximiza $f(x)$.
$f(x) = 1,5(-x^2 + 2x)$ para $0 < x < 1$. Para encontrar o máximo, derivamos$f(x)$e igualamos a zero:$f'(x) = \frac{d}{dx} [1,5(-x^2 + 2x)]$$f'(x) = 1,5(-2x + 2)$Igualando a zero:$1,5(-2x + 2) = 0 \implies -2x + 2 = 0 \implies 2x = 2 \implies x = 1$. A segunda derivada é$f''(x) = 1,5(-2) = -3$, que é negativa, confirmando que$x=1$é um ponto de máximo. Como a função é uma parábola com concavidade para baixo e seu vértice está em$x=1undefined0 < x < 1$, a função é estritamente crescente nesse intervalo. Portanto, o valor máximo de$f(x)$dentro do domínio é atingido no limite superior, ou seja, a moda é$x=1$.

Finalmente, calculamos o módulo da diferença entre a média e a moda:
$|E[X] - \text{Moda}| = \left|\frac{5}{8} - 1\right|$
$= \left|\frac{5}{8} - \frac{8}{8}\right|$
$= \left|-\frac{3}{8}\right| = \frac{3}{8}$

(A) Incorreta: O valor $\frac{1}{2}$ não corresponde ao módulo da diferença entre a média ($\frac{5}{8}$) e a moda ($1$). **(B) Correta:** O módulo da diferença entre a média ($E[X] = \frac{5}{8}$) e a moda (Moda$= 1$) é$\left|\frac{5}{8} - 1\right| = \left|-\frac{3}{8}\right| = \frac{3}{8}$. A armadilha aqui é a determinação da moda: como a função de densidade é estritamente crescente no intervalo$(0,1)$, seu máximo ocorre no limite superior do intervalo,$x=1$. **(C) Incorreta:** O valor$\frac{1}{4}$não é o resultado correto da diferença calculada. **(D) Incorreta:** O valor$\frac{3}{4}$não é o resultado correto da diferença calculada. **(E) Incorreta:** O valor$\frac{3}{2}$ não é o resultado correto da diferença calculada.