Questão de Estatística · FCC TRT18 2022 (nº 37)

Uma função de probabilidade conjunta descreve a probabilidade de duas variáveis aleatórias discretas (X e Y) assumirem valores específicos simultaneamente. A esperança condicional $E(Y|X=x)$ é o valor médio esperado de Y, dado que a variável X já assumiu um valor específico x.

Para resolver a questão, precisamos seguir os seguintes passos:

1. Calcular a constante $c$: A soma de todas as probabilidades conjuntas deve ser igual a 1.
   $\sum_{x=0}^{3} \sum_{y=0}^{3} c(x+y) = 1$
   $c \sum_{x=0}^{3} \sum_{y=0}^{3} (x+y) = 1$
   A soma interna $\sum_{y=0}^{3} (x+y) = (x+0) + (x+1) + (x+2) + (x+3) = 4x + 6$.
   A soma externa $\sum_{x=0}^{3} (4x+6) = (4 \cdot 0 + 6) + (4 \cdot 1 + 6) + (4 \cdot 2 + 6) + (4 \cdot 3 + 6)$
   $= 6 + 10 + 14 + 18 = 48$.
   Portanto, $c \cdot 48 = 1 \implies c = \frac{1}{48}$.

2. Calcular $P(0 \leq X < 3)$: Esta é a probabilidade de X assumir os valores 0, 1 ou 2.
   $P(0 \leq X < 3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$.
   $P(X=x) = \sum_{y=0}^{3} f(x,y) = \sum_{y=0}^{3} c(x+y) = c(4x+6)$.
   $P(X=0) = c(4 \cdot 0 + 6) = 6c$.
   $P(X=1) = c(4 \cdot 1 + 6) = 10c$.
   $P(X=2) = c(4 \cdot 2 + 6) = 14c$.
   $P(0 \leq X < 3) = 6c + 10c + 14c = 30c$.
   Substituindo $c = \frac{1}{48}$: $P(0 \leq X < 3) = 30 \cdot \frac{1}{48} = \frac{30}{48} = \frac{5}{8}$.

3. Calcular $E(Y|X=1)$: Primeiro, precisamos das probabilidades condicionais $P(Y=y|X=1)$.
   $P(Y=y|X=1) = \frac{f(1,y)}{P(X=1)}$.
   Já calculamos $P(X=1) = 10c$.
   $f(1,y) = c(1+y)$.
   Então, $P(Y=y|X=1) = \frac{c(1+y)}{10c} = \frac{1+y}{10}$.
   As probabilidades condicionais para $y \in \{0,1,2,3\}$ são:
   $P(Y=0|X=1) = \frac{1+0}{10} = \frac{1}{10}$.
   $P(Y=1|X=1) = \frac{1+1}{10} = \frac{2}{10}$.
   $P(Y=2|X=1) = \frac{1+2}{10} = \frac{3}{10}$.
   $P(Y=3|X=1) = \frac{1+3}{10} = \frac{4}{10}$.
   Agora, calculamos a esperança condicional:
   $E(Y|X=1) = \sum_{y=0}^{3} y \cdot P(Y=y|X=1)$
   $E(Y|X=1) = 0 \cdot \frac{1}{10} + 1 \cdot \frac{2}{10} + 2 \cdot \frac{3}{10} + 3 \cdot \frac{4}{10}$
   $E(Y|X=1) = \frac{0 + 2 + 6 + 12}{10} = \frac{20}{10} = 2$.

4. Multiplicar os resultados:
   $P(0 \leq X < 3) \times E(Y|X=1) = \frac{5}{8} \times 2 = \frac{10}{8} = \frac{5}{4}$.

(A) Incorreta: Esta alternativa é resultado de erros de cálculo, por exemplo, se $P(0 \leq X < 3)$ fosse $2/5$e$E(Y|X=1) fosse 2, resultaria em \4/5$. **(B) Incorreta:** Esta alternativa é um distrator tentador. Poderia ser obtida se houvesse um erro na determinação de$c$(por exemplo, se$c=1/50$, então$P(0 \leq X < 3) = 30/50 = 3/5$) e, em seguida, um erro na esperança condicional (por exemplo, se$E(Y|X=1)=1$), resultando em$3/5 \times 1 = 3/5$. **(C) Incorreta:** Esta alternativa é significativamente menor que o resultado correto, indicando erros mais substanciais nos cálculos de probabilidade ou esperança. **(D) Incorreta:** Esta alternativa também é um distrator comum para erros de cálculo, como se$P(0 \leq X < 3) fosse \9/20$e$E(Y|X=1) fosse 2, o que daria \9/10$. **(E) Correta:** O cálculo detalhado mostra que$P(0 \leq X < 3) = \frac{5}{8}$e$E(Y|X=1) = 2$. Multiplicando esses dois valores, obtemos$\frac{5}{8} \times 2 = \frac{10}{8} = \frac{5}{4}$.