Questão de Estatística · FCC TRT18 2022 (nº 35)

Uma variável aleatória contínua é aquela que pode assumir qualquer valor dentro de um intervalo, e sua probabilidade é descrita por uma função de densidade de probabilidade (f.d.p.), $f(x)$, que deve ser não negativa e ter sua integral total igual a 1. A esperança (ou valor esperado), $E(X)$, representa a média ponderada dos possíveis valores que a variável pode assumir, sendo calculada pela integral de $x \cdot f(x)$ sobre todo o domínio.

Primeiro, determinamos o valor da constante $K$ garantindo que a integral da f.d.p. seja 1:
$\int_{0}^{4} K(x + 1) dx = 1 \implies K \left[ \frac{x^2}{2} + x \right]_{0}^{4} = 1 \implies K \left( \left( \frac{4^2}{2} + 4 \right) - 0 \right) = 1 \implies K(8 + 4) = 1 \implies 12K = 1 \implies K = \frac{1}{12}$.

Em seguida, calculamos a esperança $E(X)$ usando a fórmula $E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) dx$:
$E(X) = \int_{0}^{4} x \cdot \frac{1}{12}(x + 1) dx = \frac{1}{12} \int_{0}^{4} (x^2 + x) dx$
$E(X) = \frac{1}{12} \left[ \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{4}$
$E(X) = \frac{1}{12} \left( \left( \frac{4^3}{3} + \frac{4^2}{2} \right) - 0 \right)$
$E(X) = \frac{1}{12} \left( \frac{64}{3} + \frac{16}{2} \right) = \frac{1}{12} \left( \frac{64}{3} + 8 \right)$
$E(X) = \frac{1}{12} \left( \frac{64}{3} + \frac{24}{3} \right) = \frac{1}{12} \left( \frac{88}{3} \right) = \frac{88}{36}$
Simplificando a fração, dividindo o numerador e o denominador por 4:
$E(X) = \frac{22}{9}$.

(A) Correta: O cálculo da esperança $E(X)$ resulta em $\frac{22}{9}$, seguindo corretamente os passos de encontrar a constante $K$ e aplicar a fórmula da esperança para variáveis aleatórias contínuas.
(B) Incorreta: Esta alternativa seria obtida se houvesse um erro comum na integração, como $\int x^2 dx = \frac{x^3}{2}$ em vez de $\frac{x^3}{3}$. Esta é uma armadilha da banca para testar o conhecimento de cálculo integral.
(C) Incorreta: Não corresponde ao resultado correto nem a um erro comum de cálculo evidente.
(D) Incorreta: Não corresponde ao resultado correto nem a um erro comum de cálculo evidente.
(E) Incorreta: Não corresponde ao resultado correto nem a um erro comum de cálculo evidente.