Questão nº 34
Questão de Estatística · FCC TRT18 2022 (nº 34)
Em uma fábrica, 3 máquinas (A, B e C) produzem um determinado tipo de peça ao mesmo tempo. A máquina B produz o dobro do que produz a máquina A e a máquina C produz o triplo do que produz a máquina A. Todas as peças produzidas são misturadas e sabe-se que 2% das peças produzidas por A saem defeituosas, 3% das peças produzidas por B saem defeituosas e 4% das peças produzidas por C saem defeituosas. Escolhendo aleatoriamente uma peça produzida e verificando que ela é defeituosa, a probabilidade de ela ter sido produzida pela máquina B é igual a
- A20%
- B30% (alternativa correta)
- C36%
- D25%
- E40%
Resposta comentada
Gabarito Alternativa B
O Teorema de Bayes nos permite calcular a probabilidade de um evento (como uma peça ter vindo de uma máquina específica) após observarmos outro evento (como a peça ser defeituosa), ajustando as probabilidades iniciais com base em novas informações.
- (A) Incorreta: Esta alternativa resulta de um erro comum: usar a taxa de defeito da máquina A (2%) no numerador, mas mantendo a proporção de produção da máquina B (2/6) e o denominador correto. Ou seja, calcular (0.02 * 2/6) / (0.20/6) = 0.04 / 0.20 = 20%. A armadilha é confundir qual taxa de defeito usar no numerador.
- (B) Correta: Para resolver, primeiro definimos as probabilidades de uma peça vir de cada máquina:
- Se A produz
xpeças, B produz2xe C produz3x. - Total de peças =
x + 2x + 3x = 6x. - P(A) =
x/6x = 1/6 - P(B) =
2x/6x = 2/6 = 1/3 - P(C) =
3x/6x = 3/6 = 1/2
Em seguida, calculamos a probabilidade total de uma peça ser defeituosa, P(D), usando a Lei da Probabilidade Total: - P(D) = P(D|A)P(A) + P(D|B)P(B) + P(D|C)P(C)
- P(D) = (0.02 * 1/6) + (0.03 * 2/6) + (0.04 * 3/6)
- P(D) = (0.02/6) + (0.06/6) + (0.12/6) = (0.02 + 0.06 + 0.12) / 6 = 0.20 / 6
Agora, aplicamos o Teorema de Bayes para encontrar P(B|D), a probabilidade de a peça ter sido produzida pela máquina B, dado que é defeituosa: - P(B|D) = [P(D|B) * P(B)] / P(D)
- P(B|D) = (0.03 * 2/6) / (0.20 / 6)
- P(B|D) = (0.06 / 6) / (0.20 / 6)
- P(B|D) = 0.06 / 0.20 = 6 / 20 = 3 / 10 = 0.30 = 30%.
- Se A produz
- (C) Incorreta: Esta alternativa pode surgir de um erro na determinação da probabilidade a priori P(B), como se P(B) fosse 2/5 (0.4) em vez de 2/6 (1/3), o que levaria a (0.03 * 0.4) / (0.20/6) = 0.012 / (0.20/6) = 0.072 / 0.20 = 36%.
- (D) Incorreta: Esta alternativa não corresponde a um erro comum e direto de cálculo no Teorema de Bayes para este problema específico.
- (E) Incorreta: Esta alternativa resulta de um erro semelhante ao da alternativa A, mas usando a taxa de defeito da máquina C (4%) no numerador em vez da máquina B. Ou seja, calcular (0.04 * 2/6) / (0.20/6) = 0.08 / 0.20 = 40%.
Fonte: FCC TRT18 2022 Analista Judiciário - Área Apoio Especializado - Especialidade Estatística (Caderno Tipo 001). Reproduzida para fins de estudo.