Questão de Estatística · FCC TRT18 2022 (nº 38)

As distribuições de probabilidade descrevem como os valores de uma variável aleatória se espalham. Para a Distribuição Uniforme $U(m, n)$, todos os valores entre $m$ e $n$ têm a mesma probabilidade, e sua esperança (média) é $E[X] = \frac{m+n}{2}$ e sua variância é $Var[X] = \frac{(n-m)^2}{12}$. Para a Distribuição Qui-quadrado $\chi^2(\nu)$, com $\nu$ graus de liberdade, a esperança é $E[Y] = \nu$ e a variância é $Var[Y] = 2\nu$.

Primeiro, calculamos a esperança e a variância da variável Y, que tem distribuição qui-quadrado com 3 graus de liberdade ($\nu=3$):
$E[Y] = \nu = 3$
$Var[Y] = 2\nu = 2 \times 3 = 6$

Agora, usamos as relações dadas para a variável X, que tem distribuição uniforme no intervalo $(m, n)$:

1. A esperança de X é igual à variância de Y:
   $E[X] = Var[Y] \implies \frac{m+n}{2} = 6 \implies m+n = 12$ (Equação 1)
2. A variância de X é igual à esperança de Y:
   $Var[X] = E[Y] \implies \frac{(n-m)^2}{12} = 3 \implies (n-m)^2 = 36$
   Como $n > m$, então $n-m$ deve ser positivo, então $n-m = \sqrt{36} = 6$ (Equação 2)

Agora, resolvemos o sistema de equações:
(1) $m+n = 12$
(2) $n-m = 6$

Somando as duas equações: $(m+n) + (n-m) = 12+6 \implies 2n = 18 \implies n = 9$.
Substituindo $n=9$ na Equação 1: $m+9=12 \implies m=3$.
Assim, $(m, n) = (3, 9)$.

(A) Incorreta: Para (3, 6), $m+n = 9 \neq 12$ e $n-m = 3 \implies (n-m)^2 = 9 \neq 36$.
(B) Correta: Para (3, 9), $m+n = 3+9 = 12$ e $n-m = 9-3 = 6 \implies (n-m)^2 = 36$. Ambas as condições são satisfeitas.
(C) Incorreta: Para (4, 8), $m+n = 4+8 = 12$, o que satisfaz a primeira condição. No entanto, $n-m = 8-4 = 4 \implies (n-m)^2 = 16 \neq 36$. Esta é a armadilha, pois satisfaz uma das condições, mas não a outra. É crucial verificar ambas as condições.
(D) Incorreta: Para (6, 9), $m+n = 15 \neq 12$ e $n-m = 3 \implies (n-m)^2 = 9 \neq 36$.
(E) Incorreta: Para (5, 7), $m+n = 5+7 = 12$, o que satisfaz a primeira condição. No entanto, $n-m = 7-5 = 2 \implies (n-m)^2 = 4 \neq 36$.