Questão de Estatística · FCC TRT18 2022 (nº 32)

Medidas de dispersão nos mostram o quão espalhados os dados estão em relação à média (o valor central). A variância quantifica essa dispersão média elevando ao quadrado as diferenças de cada dado em relação à média. O desvio padrão é a raiz quadrada da variância, voltando à unidade original dos dados, e o coeficiente de variação compara o desvio padrão com a média, indicando a dispersão relativa.

Vamos calcular os valores para $P_1$ e $P_2$:

População $P_1$:

• $N_1 = 100$
• $\mu_1 = 5$ SM
• $\sigma_1 = 0,5$ SM
• $\sigma_1^2 = (0,5)^2 = 0,25$ SM$^2$
• A soma dos salários de $P_1$: $\sum x_i = N_1 \times \mu_1 = 100 \times 5 = 500$ SM.
• A variância é $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{N} - \mu^2$. Então, $\sum x_i^2 = N (\sigma^2 + \mu^2)$.
• Soma dos quadrados dos salários de $P_1$: $\sum x_i^2 (P_1) = 100 \times (0,25 + 5^2) = 100 \times (0,25 + 25) = 100 \times 25,25 = 2525$.

População $P_2$:

• 20 empregados, cada um ganhando 5 SM, saem.
• $N_2 = 100 - 20 = 80$.
• Soma dos salários dos 20 empregados que saíram: $20 \times 5 = 100$ SM.
• Nova soma dos salários de $P_2$: $\sum x_j (P_2) = \sum x_i (P_1) - 100 = 500 - 100 = 400$ SM.
• Novo salário médio de $P_2$: $\mu_2 = \frac{\sum x_j (P_2)}{N_2} = \frac{400}{80} = 5$ SM.
• Soma dos quadrados dos salários dos 20 empregados que saíram: $20 \times (5^2) = 20 \times 25 = 500$.
• Nova soma dos quadrados dos salários de $P_2$: $\sum x_j^2 (P_2) = \sum x_i^2 (P_1) - 500 = 2525 - 500 = 2025$.
• Nova variância de $P_2$: $\sigma_2^2 = \frac{\sum x_j^2 (P_2)}{N_2} - \mu_2^2 = \frac{2025}{80} - 5^2 = \frac{2025}{80} - 25 = \frac{2025 - (25 \times 80)}{80} = \frac{2025 - 2000}{80} = \frac{25}{80} = \frac{5}{16}$ SM$^2$.
• Novo desvio padrão de $P_2$: $\sigma_2 = \sqrt{\frac{5}{16}} = \frac{\sqrt{5}}{4}$ SM.

Análise das alternativas:

• (A) Incorreta: O salário médio de $P_2$ é 5 SM, não 4 SM.
• (B) Incorreta: Coeficiente de variação de $P_1$ ($CV_1 = \frac{0,5}{5} = 0,1$). Coeficiente de variação de $P_2$ ($CV_2 = \frac{\sqrt{5}/4}{5} = \frac{\sqrt{5}}{20} \approx 0,1118$). Os valores são diferentes.
• (C) Incorreta: O desvio padrão de $P_1$ é 0,5 SM. O desvio padrão de $P_2$ é $\frac{\sqrt{5}}{4} \approx 0,559$ SM. Se multiplicarmos $0,5 \times 1,25 = 0,625$, que é diferente de $\frac{\sqrt{5}}{4}$.
• (D) Incorreta: A soma dos quadrados dos elementos de $P_1$ é 2525. A soma dos quadrados dos elementos de $P_2$ é 2025. A diferença é $2525 - 2025 = 500$. A armadilha aqui é confundir a soma dos salários dos que saíram ($20 \times 5 = 100$) com a soma dos *quadrados* dos salários dos que saíram ($20 \times 5^2 = 500$).
• (E) Correta: A variância de $P_2$ foi calculada como $\frac{5}{16}$ SM$^2$.