Questão de Estatística · FCC TRT18 2022 (nº 57)

A matriz de covariâncias nos mostra a variância de cada variável (na diagonal principal, que mede a dispersão de uma única variável) e a covariância entre pares de variáveis (fora da diagonal, que indica como duas variáveis se movem juntas). A correlação é uma versão padronizada da covariância, que varia de -1 a 1, e é calculada dividindo a covariância pelo produto dos desvios-padrão das variáveis.

Para resolver, primeiro extraímos os valores da matriz:
$Var(X_1) = 25 \implies \sigma_{X_1} = \sqrt{25} = 5$
$Var(X_2) = 4 \implies \sigma_{X_2} = \sqrt{4} = 2$
$Var(X_3) = 9 \implies \sigma_{X_3} = \sqrt{9} = 3$
$Cov(X_1, X_2) = -2$
$Cov(X_1, X_3) = 4$

Agora, calculamos as correlações usando a fórmula $\rho(A, B) = \frac{Cov(A, B)}{\sigma_A \sigma_B}$:
$\rho(X_1, X_2) = \frac{Cov(X_1, X_2)}{\sigma_{X_1} \sigma_{X_2}} = \frac{-2}{5 \times 2} = \frac{-2}{10} = -\frac{1}{5}$
$\rho(X_1, X_3) = \frac{Cov(X_1, X_3)}{\sigma_{X_1} \sigma_{X_3}} = \frac{4}{5 \times 3} = \frac{4}{15}$

Finalmente, somamos os valores encontrados:
$\rho(X_1, X_2) + \rho(X_1, X_3) = -\frac{1}{5} + \frac{4}{15}$
Para somar, encontramos um denominador comum (15):
$-\frac{1}{5} = -\frac{3}{15}$
Então, $-\frac{3}{15} + \frac{4}{15} = \frac{-3 + 4}{15} = \frac{1}{15}$

(A) Incorreta: Esta alternativa corresponde apenas a $\rho(X_1, X_3)$. A armadilha aqui é que o aluno pode calcular apenas uma das correlações e parar, esquecendo de somar os dois termos pedidos na questão.
(B) Incorreta: O valor $\frac{4}{14}$ não é obtido por nenhum cálculo correto ou erro comum neste contexto.
(C) Incorreta: O valor $\frac{4}{9}$ seria obtido se o aluno dividisse $Cov(X_1, X_3)$ por $Var(X_3)$ (ou $\sigma_{X_3}^2$) em vez de pelo produto dos desvios-padrão.
(D) Incorreta: O valor $\frac{3}{14}$ não é obtido por nenhum cálculo correto ou erro comum neste contexto.
(E) Correta: O cálculo de $\rho(X_1, X_2) = -\frac{1}{5}$ e $\rho(X_1, X_3) = \frac{4}{15}$, somados, resulta em $\frac{1}{15}$.