Questão de Estatística · FCC TRT18 2022 (nº 56)

O conceito-chave aqui é a Teoria de Filas, que estuda sistemas onde clientes chegam para serem atendidos por servidores. Usamos o modelo M/M/1 (chegadas Poisson, atendimento exponencial, 1 servidor) para calcular a probabilidade de diferentes estados do sistema. Quando a questão descreve uma capacidade finita mas não menciona explicitamente a rejeição de clientes, geralmente calculamos as probabilidades de estado como se a fila fosse infinita, e usamos a capacidade para interpretar o evento específico.

Vamos aos cálculos:

1. Taxa de Chegada ($\lambda$): 2 pessoas/hora.
2. Taxa de Atendimento ($\mu$): O tempo médio de atendimento é de 20 minutos. Convertendo para horas, $20 \text{ minutos} = 20/60 \text{ hora} = 1/3 \text{ hora}$. A taxa de atendimento é o inverso do tempo médio, então $\mu = 1 / (1/3) = 3$ pessoas/hora.
3. Intensidade de Tráfego ($\rho$): $\rho = \lambda / \mu = 2 / 3$.

Para um sistema M/M/1 (fila infinita), as probabilidades de estado estacionário $P_n$ (probabilidade de haver $n$ pessoas no sistema) são dadas por $P_n = (1-\rho)\rho^n$.

Agora, vamos calcular as probabilidades pedidas:

• Probabilidade de a repartição estar vazia ($P_0$):
  A repartição está vazia quando não há ninguém no sistema ($n=0$).
  $P_0 = 1 - \rho = 1 - 2/3 = 1/3$.

• Probabilidade de uma pessoa chegar e não haver lugar para sentar-se:
  A sala de espera possui dois lugares. "Não haver lugar para sentar-se" significa que a sala de espera está cheia ou superlotada.
  Se o guichê está ocupado (1 pessoa sendo atendida) e a sala de espera tem 2 pessoas, então há 3 pessoas no sistema ($n=3$).
  Se há mais de 2 pessoas na sala de espera, ainda assim não haverá lugar para sentar.
  Portanto, "não haver lugar para sentar-se" significa que o número de pessoas na fila é de 2 ou mais.
  O número de pessoas na fila ($n_q$) é $n-1$ (se $n \ge 1$, pois há 1 servidor).
  Então, $n_q \ge 2 \implies n-1 \ge 2 \implies n \ge 3$.
  A probabilidade de haver $n$ ou mais pessoas no sistema M/M/1 é $P(n \ge k) = \rho^k$.
  Então, a probabilidade de haver 3 ou mais pessoas no sistema é $P(n \ge 3) = \rho^3 = (2/3)^3 = 8/27$.

• Soma das probabilidades:
  Soma = $P_0 + P(n \ge 3) = 1/3 + 8/27$.
  Para somar, colocamos no mesmo denominador: $1/3 = 9/27. Soma = \9/27 + 8/27 = 17/27$.

(A) Incorreta: Esta alternativa seria plausível se a capacidade total do sistema fosse $K=2$ (1 no guichê, 1 na fila) e a questão pedisse $P_0 + P_2$, resultando em $13/19. No entanto, \13/45$não se encaixa. A armadilha aqui seria interpretar a capacidade de forma diferente da que leva ao gabarito. **(B) Incorreta:** Não há um cálculo direto que leve a este valor com as interpretações comuns. **(C) Correta:** A soma da probabilidade de a repartição estar vazia ($P_0 = 1-\rho$) com a probabilidade de uma pessoa chegar e encontrar a fila com 2 ou mais pessoas (ou seja,$n \ge 3$pessoas no sistema, que é$\rho^3 para uma fila M/M/1 infinita) resulta em \1/3 + 8/27 = 17/27$. A **armadilha** da banca é descrever um sistema com capacidade finita (guichê + 2 lugares na sala de espera = 3 pessoas no total), mas para chegar ao gabarito, deve-se usar as fórmulas de um sistema de fila *infinita* (M/M/1) para$P_0$e para a probabilidade de haver "pelo menos"$k$pessoas no sistema, interpretando a capacidade finita apenas como um limite para o evento "não haver lugar para sentar-se", e não como um limite para o sistema em si (que rejeitaria clientes). Se o sistema fosse tratado como M/M/1/3 (capacidade finita),$P_0 = 27/65$e$P_3 = 8/65, e a soma seria \35/65 = 7/13$, que não é uma das opções.
(D) Incorreta: Não há um cálculo direto que leve a este valor com as interpretações comuns.
(E) Incorreta: Não há um cálculo direto que leve a este valor com as interpretações comuns.