Questão de Estatística · FCC TRT18 2022 (nº 55)

Uma cadeia de Markov descreve um sistema que muda de estado ao longo do tempo, onde a probabilidade de ir para o próximo estado depende apenas do estado atual. Um estado é transiente se, uma vez que o sistema entra nele, há uma probabilidade menor que 1 de que o sistema retorne a esse estado em algum momento no futuro (ou seja, há uma chance de o sistema sair e nunca mais voltar). Um estado é recorrente se, uma vez que o sistema entra nele, há uma probabilidade de 1 de que o sistema retorne a esse estado. Um estado é absorvente se, uma vez que o sistema entra nele, ele nunca mais sai (a probabilidade de permanecer nele é 1).

Análise dos estados:

• Estado 2: $P_{22} = 1$. Uma vez no estado 2, o sistema permanece lá. Portanto, o estado 2 é absorvente e, consequentemente, recorrente.
• Estados 0 e 1:
  • De 0, pode-se ir para 0 ou 1.
  • De 1, pode-se ir para 0 ou 1.
  • 0 e 1 comunicam-se entre si (0 alcança 1, e 1 alcança 0).
  • Não há transição de 0 ou 1 para os estados 2, 3 ou 4.
  • Assim, os estados {0,1} formam uma classe fechada. Como esta classe é finita e fechada, todos os estados nela (0 e 1) são recorrentes.
• Estado 3:
  • De 3, pode-se ir para 3 ou 2.
  • Há uma probabilidade de 0,25 de ir para o estado 2. Uma vez no estado 2, o sistema fica preso lá (estado absorvente).
  • Portanto, há uma probabilidade não nula de o sistema sair de 3 e nunca mais retornar a 3. Assim, o estado 3 é transiente.
• Estado 4:
  • De 4, o sistema vai para o estado 0 com probabilidade 1 ($P_{40}=1$).
  • Uma vez no estado 0, o sistema está na classe recorrente {0,1} e nunca poderá retornar ao estado 4.
  • Portanto, o estado 4 é transiente.

(A) Incorreta: Estados 0 e 1 não são absorventes porque $P_{00} \ne 1$ e $P_{11} \ne 1$; eles podem transitar entre si.
(B) Incorreta: Estados 0 e 1 são recorrentes, pois formam uma classe fechada e comunicante, da qual o sistema não pode sair.
(C) Incorreta: O estado 2 é absorvente, mas o estado 4 não é, pois ele transita para o estado 0 ($P_{40}=1$).
(D) Incorreta: Estados 3 e 4 são transientes, pois há uma probabilidade não nula de o sistema sair desses estados e nunca mais retornar (para 3, pode ir para 2; para 4, vai para 0).
(E) Correta: Conforme a análise, os estados 3 e 4 são transientes. Do estado 3, há uma chance de ir para o estado 2 (absorvente) e nunca mais retornar a 3. Do estado 4, o sistema vai obrigatoriamente para o estado 0, que faz parte de uma classe recorrente que não inclui o 4, impedindo o retorno ao 4.