Questão de Estatística · FCC TRT18 2022 (nº 46)

O Teste de Sinais para Dados Pareados é um método não-paramétrico que compara duas amostras relacionadas (como "antes" e "depois" de um treinamento nos mesmos indivíduos) focando na direção da diferença (se o valor aumentou ou diminuiu), ignorando a magnitude exata da mudança.

Para aplicá-lo, seguimos estes passos:

1. Calcular as diferenças: Subtraímos o tempo "Antes" do tempo "Depois" para cada indivíduo.

   • Indivíduo 1: 12 - 15 = -3
   • Indivíduo 2: 16 - 18 = -2
   • Indivíduo 3: 10 - 12 = -2
   • Indivíduo 4: 11 - 10 = +1
   • Indivíduo 5: 14 - 14 = 0
   • Indivíduo 6: 15 - 17 = -2
   • Indivíduo 7: 12 - 13 = -1

2. Atribuir sinais: Contamos o número de diferenças positivas (+) e negativas (-). Diferenças iguais a zero são descartadas do cálculo do tamanho da amostra.

   • Sinais negativos: 5 (Indivíduos 1, 2, 3, 6, 7)
   • Sinais positivos: 1 (Indivíduo 4)
   • Diferenças zero: 1 (Indivíduo 5)

3. Determinar o tamanho efetivo da amostra (N): É o número total de diferenças não-nulas.

   • N = (número de sinais positivos) + (número de sinais negativos) = 1 + 5 = 6.

4. Formular as hipóteses:

   • Hipótese Nula ($H_0$): Não há diferença entre os tempos (a mediana das diferenças é zero). A probabilidade de um sinal positivo é $P(+) = 0.5$.
   • Hipótese Alternativa ($H_1$): Há diferença entre os tempos (a mediana das diferenças não é zero). A probabilidade de um sinal positivo é $P(+) \neq 0.5$. (Este é um teste bicaudal, ou seja, de duas caudas).

5. Calcular o p-valor: Sob a hipótese nula, o número de sinais positivos (ou negativos) segue uma distribuição binomial $B(N, p)$, onde $N=6$ e $p=0.5$. A probabilidade de $k$ sucessos (sinais positivos) é $P(X=k) = \binom{N}{k} p^k (1-p)^{N-k} = \binom{6}{k} (0.5)^6 = \frac{\binom{6}{k}}{64}$.

   • $P(X=0) = \binom{6}{0}/64 = 1/64$
   • $P(X=1) = \binom{6}{1}/64 = 6/64$
   • $P(X=2) = \binom{6}{2}/64 = 15/64$
   • $P(X=3) = \binom{6}{3}/64 = 20/64$
   • $P(X=4) = \binom{6}{4}/64 = 15/64$
   • $P(X=5) = \binom{6}{5}/64 = 6/64$
   • $P(X=6) = \binom{6}{6}/64 = 1/64$

   O número observado de sinais positivos é 1 (e 5 negativos). Para um teste bicaudal, o p-valor é a probabilidade de observar um resultado tão extremo ou mais extremo que o observado. Os resultados tão extremos ou mais extremos que 1 sinal positivo (ou 5 negativos) são: 0 positivos, 1 positivo, 5 positivos e 6 positivos.
   O p-valor pelo método padrão seria: $P(X=0) + P(X=1) + P(X=5) + P(X=6) = \frac{1+6+6+1}{64} = \frac{14}{64} = \frac{7}{32}$.

   No entanto, a alternativa C indica um p-valor de $\frac{29}{64}$. Para obter este valor, a soma das probabilidades seria $P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=5) + P(X=6) = \frac{1+6+15+6+1}{64} = \frac{29}{64}$. Esta forma de calcular o p-valor (que inclui $X=2$ como "extremo" mesmo sendo menos extremo que $X=1$) não é a definição padrão do p-valor para o teste de sinais, mas é o valor apresentado no gabarito.

6. Comparar o p-valor com o nível de significância:

   • p-valor = $\frac{29}{64} \approx 0.453125$
   • Nível de significância ($\alpha$) = 5% = 0.05
   • Como $0.453125 > 0.05$, não rejeitamos a hipótese nula. Isso significa que não há evidência estatística suficiente para concluir que há uma diferença significativa nos tempos de execução após o treinamento, ao nível de 5% de significância.

• (A) Incorreta: O p-valor obtido não é $\frac{13}{50}$.
• (B) Incorreta: O p-valor obtido não é $\frac{3}{65}$, e mesmo que fosse, a conclusão de rejeitar a hipótese nula ao nível de 10% dependeria da comparação.
• (C) Correta: O p-valor obtido, conforme o gabarito, é $\frac{29}{64}$. Comparando com o nível de significância de 5% (0.05), temos $\frac{29}{64} \approx 0.453125 > 0.05$, o que leva à decisão de não rejeitar a hipótese nula. A armadilha aqui é que o cálculo do p-valor para $\frac{29}{64}$ não segue a definição padrão de "tão extremo ou mais extremo" para o teste de sinais, que resultaria em $\frac{14}{64}$. No entanto, a conclusão de não rejeitar a hipótese nula é consistente com o p-valor de $\frac{29}{64}$.
• (D) Incorreta: A conclusão de que há evidência de diferença seria de rejeitar a hipótese nula. Como o p-valor é alto ($\approx 0.453$), não há evidência para tal afirmação.
• (E) Incorreta: O p-valor obtido não é $\frac{3}{128}$.