Questão de Estatística · FCC TRT18 2022 (nº 45)

Para calcular a probabilidade de uma variável aleatória transformada, primeiro ajustamos o intervalo da nova variável para a variável original e depois integramos a função de densidade de probabilidade (fdp) da variável original sobre esse novo intervalo.

• Transformação do Intervalo:
  Temos U = 2X e queremos P(1 < U < 3).
  Substituindo U por 2X, obtemos:
  1 < 2X < 3
  Dividindo todos os termos por 2:
  $\frac{1}{2} < X < \frac{3}{2}$

• Cálculo da Probabilidade:
  Agora precisamos calcular $P(\frac{1}{2} < X < \frac{3}{2})$ usando a fdp de X, $f(x) = \frac{x+2}{6}$ para $0 < x < 2$. Como o intervalo$(\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$está totalmente dentro do domínio de$f(x) (\0 < x < 2$), podemos integrar diretamente:$P(\frac{1}{2} < X < \frac{3}{2}) = \int_{1/2}^{3/2} \frac{x+2}{6} dx$$= \frac{1}{6} \int_{1/2}^{3/2} (x+2) dx$$= \frac{1}{6} \left[ \frac{x^2}{2} + 2x \right]_{1/2}^{3/2}$Aplicando os limites de integração:$= \frac{1}{6} \left[ \left( \frac{(3/2)^2}{2} + 2(\frac{3}{2}) \right) - \left( \frac{(1/2)^2}{2} + 2(\frac{1}{2}) \right) \right]$$= \frac{1}{6} \left[ \left( \frac{9/4}{2} + 3 \right) - \left( \frac{1/4}{2} + 1 \right) \right]$$= \frac{1}{6} \left[ \left( \frac{9}{8} + \frac{24}{8} \right) - \left( \frac{1}{8} + \frac{8}{8} \right) \right]$$= \frac{1}{6} \left[ \frac{33}{8} - \frac{9}{8} \right]$$= \frac{1}{6} \left[ \frac{24}{8} \right]$$= \frac{1}{6} \times 3 = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

(A) Incorreta: Este resultado ($\frac{7}{12}$) seria obtido se a integração fosse feita diretamente no intervalo de U (de 1 a 3), mas usando a fdp de X, $f(x)$, e considerando que $f(x)=0$ para $x \ge 2$, o que levaria a $\int_1^2 \frac{x+2}{6} dx$. A armadilha aqui é não transformar o intervalo de U para X antes de integrar.
(B) Incorreta: Não corresponde ao cálculo correto.
(C) Incorreta: Não corresponde ao cálculo correto.
(D) Correta: A probabilidade é $\frac{1}{2}$, conforme o cálculo detalhado acima, que envolve a correta transformação do intervalo da variável U para a variável X e a integração da fdp de X.
(E) Incorreta: Não corresponde ao cálculo correto.